Taktik Paten Pecahan Berpangkat

Red Flag Pangkat

Membagi bilangan berpangkat dengan cara mengurangkan pangkatnya hanya sah jika operasinya berupa perkalian tunggal.

Ketika melihat bentuk pecahan eksponen dengan angka basis yang sama, godaan terbesarnya adalah langsung mencoret suku atas dan bawah. Padahal, rumus $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ memiliki syarat mutlak: pembilang dan penyebut harus berupa faktor pengali murni, bukan suku yang terikat tanda tambah atau kurang.

Diagram aturan ilegal pencoretan suku berpangkat yang dihubungkan tanda tambah atau kurang

Operasi penjumlahan atau pengurangan pada aljabar ibarat barang-barang yang direkatkan di dalam satu paket kardus utuh. Kamu tidak bisa mengambil atau membagi satu barang di dalam paket tanpa membuka kemasannya terlebih dahulu. Mencoba membagi langsung $(3^9 - 3^6)$ dengan $3^6$ adalah operasi ilegal yang melanggar hukum aljabar.

Bentuk operasi manakah di bawah ini yang pangkatnya BOLEH disederhanakan langsung dengan cara mengurangkan eksponennya?

  • \frac{5^4 \times 5^2}{5^3}
  • \frac{5^4 + 5^2}{5^3}
  • \frac{5^4 - 5^2}{5^2}
  • \frac{5^4}{5^3 + 5^2}

Jawaban: \frac{5^4 \times 5^2}{5^3}

Sifat pengurangan eksponen a^m / a^n = a^{m-n} hanya berlaku pada operasi perkalian tunggal. Pilihan A merupakan perkalian murni sehingga pembilangnya menjadi 5^(4+2) = 5^6 lalu dibagi 5^3 menjadi 5^(6-3) = 5^3. Pilihan B, C, dan D melibatkan penjumlahan atau pengurangan yang mengikat suku-suku menjadi satu kesatuan sehingga eksponennya tidak boleh langsung dikurangkan tanpa difaktorkan terlebih dahulu.

Menghindari penyederhanaan eksponen yang salah pada operasi penjumlahan.

Langkah Paten Memfaktorkan

Untuk memecah 'kemasan paket' penjumlahan eksponen, langkah patennya adalah mengeluarkan basis dengan pangkat terkecil sebagai faktor bersama.

Taktik utama dalam menyederhanakan aljabar berpangkat yang dipisahkan penjumlahan atau pengurangan adalah mengurai eksponen besar menjadi perkalian eksponen kecil. Dengan cara ini, kita melakukan pemfaktoran secara bertahap:

  1. Kelompok pertama: Pada $(3^9 - 3^6)$, pangkat terkecilnya adalah $3^6$. Kita faktorkan keluar:

    $$3^9 - 3^6 = 3^6(3^3 - 1)$$

  2. Kelompok kedua: Pada $(3^5 - 3^2)$, pangkat terkecilnya adalah $3^2$. Kita faktorkan keluar:

    $$3^5 - 3^2 = 3^2(3^3 - 1)$$

Diagram skema pemfaktoran aljabar eksponen dengan kode warna untuk memperlihatkan pembentukan faktor identik

Setelah masing-masing kelompok difaktorkan, perhatikan bahwa muncul faktor $(3^3 - 1)$ yang identik pada kedua kelompok. Berdasarkan sifat distributif aljabar $a \cdot b + c \cdot b = (a + c)b$, kita dapat menarik keluar faktor persekutuan tersebut:

$$3^6(3^3 - 1) + 3^2(3^3 - 1) = (3^6 + 3^2)(3^3 - 1)$$

Kini, 'kemasan paket' penjumlahan yang rumit telah resmi terbuka dan berubah menjadi bentuk perkalian murni dua kelompok faktor.

Tuntas Hitung Tanpa Sisa

Setelah difaktorkan menjadi bentuk perkalian murni, pembilang dan penyebut barulah sah untuk dicoret, dan jangan sampai melupakan bagian lain dari persamaan asal.

Bentuk pecahan pertama kini siap disederhanakan:

$$\frac{(3^6 + 3^2)(3^3 - 1)}{3^6 + 3^2}$$

Karena faktor $(3^6 + 3^2)$ pada pembilang terikat oleh operasi perkalian terhadap $(3^3 - 1)$, pembagian terhadap penyebut yang bernilai sama menjadi sah secara hukum matematika.

Persamaan aljabar dengan coretan pembagian yang sah pada blok persekutuan dan penunjuk penjumlahan suku kedua

Hasil dari pecahan pertama adalah:

$$3^3 - 1 = 27 - 1 = 26$$

Selesaikan suku kedua secara mandiri:

$$\frac{3^3 - 3^2}{2^2 + 2} = \frac{27 - 9}{4 + 2} = \frac{18}{6} = 3$$

Gabungkan kedua hasil:

$$26 + 3 = 29$$

Dengan demikian, hasil yang benar adalah Opsi E ($29$).

Berapakah hasil dari \frac{2^5 - 2^3 + 2^4 - 2^2}{2^3 + 2} + 1 ?

  • 3
  • 4
  • 5
  • 1

Jawaban: 4

Kelompokkan pembilang pecahan menjadi (2^5 - 2^3) + (2^4 - 2^2) = 2^3(2^2 - 1) + 2(2^2 - 1) = (2^3 + 2)(2^2 - 1). Dibagi dengan penyebut (2^3 + 2), hasilnya adalah 2^2 - 1 = 3. Jangan lupa menambahkan angka 1 di luar pecahan: 3 + 1 = 4 (jawaban benar B). Pilihan A (3) salah karena lupa menambahkan angka 1. Pilihan C (5) keliru menghitung 2^2 - 1. Pilihan D (1) akibat mencoret pangkat langsung.

Mengeksekusi pemfaktoran eksponen secara menyeluruh pada pecahan.