Polinomial: Membedah Volume dan Kurva Fungsi
Membangun Volume dari Dimensi
Fungsi volume dibentuk dengan mengalikan seluruh faktor dimensinya, dan nilainya pada kondisi tertentu dicari lewat substitusi langsung.
Bayangkan kamu sedang merakit sebuah kotak penyimpanan fisik dari lembaran kayu. Setiap sisi balok menyumbangkan satu ukuran linear: panjang, lebar, dan tinggi. Dalam konsep aljabar, ketika ketiga ukuran rusuk ini dinyatakan dalam bentuk aljabar, volume balok utuh diperoleh dari perkalian ketiga suku tersebut menjadi satu polinomial (suku banyak).
Pada Kotak A, dimensinya adalah panjang $p = (x+3)$, lebar $l = (x+2)$, dan tinggi $t = (x-1)$. Kita kalikan dua faktor pertama terlebih dahulu:
$$(x+3)(x+2) = x^2 + 5x + 6$$
Selanjutnya, kalikan hasil tersebut dengan faktor dimensi ketiga:
$$V_A(x) = (x^2 + 5x + 6)(x - 1)$$
$$V_A(x) = x(x^2 + 5x + 6) - 1(x^2 + 5x + 6)$$
$$V_A(x) = x^3 + 5x^2 + 6x - x^2 - 5x - 6 = x^3 + 4x^2 + x - 6$$
Hasil penjabaran ini membuktikan bahwa Opsi A bernilai benar.
Kesalahan umum yang sering muncul adalah memasukkan angka ke bentuk panjang $x^3 + 4x^2 + x - 6$ lalu teledor saat menghitung pangkat, misalnya menghitung $4(2^2)$ sebagai $4 \times 2 = 8$, sehingga menghasilkan $8 + 8 + 2 - 6 = 12$ atau salah hitung lainnya menjadi $18$. Karena volume sebenarnya pada saat $x = 2$ adalah $20\text{ cm}^3$, maka Opsi B bernilai salah.
Membongkar Volume Jadi Dimensi
Mencari tahu ukuran sisi dari sebuah polinomial volume berarti membagi fungsi tersebut dengan salah satu faktornya secara tuntas.
Jika pada halaman sebelumnya kita merakit kotak dari rusuk-rusuknya, sekarang kita melakukan kebalikannya: membedah kotak yang volumenya sudah diketahui untuk mencari tahu ukuran rusuk penyusunnya. Kotak B memiliki volume $V_B(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$. Soal memberi tahu bahwa salah satu rusuknya adalah $(x+1)$.
Untuk membagi polinomial $V_B(x)$ dengan pembagi linear $(x + 1)$, kita menggunakan Metode Horner dengan nilai pembuat nol $x = -1$:
Tulis koefisien $V_B(x)$ secara berurutan: $1,\; 2,\; -5,\; -6$.
Turunkan koefisien pertama ($1$).
Kalikan dengan $-1$, letakkan di bawah koefisien kedua, lalu jumlahkan: $2 + (-1) = 1$.
Ulangi perkalian dan penjumlahan: $1 \times (-1) = -1$, lalu $-5 + (-1) = -6$.
Terakhir: $-6 \times (-1) = 6$, lalu $-6 + 6 = 0$ (sisa pembagian adalah $0$, membuktikan $(x+1)$ memang faktor pas).
Hasil bagi yang diperoleh dari baris bawah Horner adalah suku banyak berderajat 2:
$$H(x) = x^2 + x - 6$$
Dengan demikian, ketiga dimensi asli Kotak B adalah $(x+1)$, $(x+3)$, dan $(x-2)$. Pernyataan pada Opsi C menyebut dimensinya adalah $(x+1)$, $(x+2)$, dan $(x+3)$. Karena memuat $(x+2)$ bukannya $(x-2)$, maka Opsi C bernilai salah.
Derajat pada Pengurangan
Derajat polinomial hasil pengurangan bisa lebih rendah dari asalnya jika suku berderajat tertingginya memiliki koefisien yang sama sehingga saling menghilangkan.
Saat kita membandingkan dua kotak secara fisik, selisih volumenya didapat dengan mengurangkan fungsi volume kotak pertama dengan kotak kedua. Mari kita sejajarkan suku-suku sejenis dari $V_A(x)$ dan $V_B(x)$ secara bersusun ke bawah seperti pengurangan aritmetika biasa.
Pengurangan bersusun:
$$\begin{array}{rl} & x^3 + 4x^2 + \phantom{0}x - 6 \quad [V_A(x)] \\ - & x^3 + 2x^2 - 5x - 6 \quad [V_B(x)] \\ \hline & 0x^3 + 2x^2 + 6x + \phantom{0}0 \end{array}$$
Perhatikan apa yang terjadi pada suku pangkat tertinggi: suku $x^3$ pada Kotak A dikurangi suku $x^3$ pada Kotak B menghasilkan $0x^3$ (saling menghabisi). Maka selisih volumenya adalah:
$$S(x) = V_A(x) - V_B(x) = 2x^2 + 6x$$
Karena suku $x^3$ sudah habis tereliminasi, pangkat tertinggi yang tersisa pada $S(x)$ adalah $2$. Jadi, $S(x)$ adalah polinomial berderajat 2. Anggapan bahwa "selisih dua fungsi kubik pasti menghasilkan fungsi kubik" adalah miskonsepsi umum. Oleh karena itu, Opsi E bernilai salah.