Trik Pengelompokan pada Deret Panjang

Uang Masuk vs Pengeluaran

Mengurangkan bilangan yang lebih besar dari bilangan yang lebih kecil akan selalu menghasilkan nilai negatif.

Bayangkan keuangan harianmu: angka positif adalah uang masuk yang kamu miliki di dompet, sedangkan angka negatif adalah uang yang kamu belanjakan. Kalau kamu hanya mengantongi uang $3$ ribu rupiah di saku, tetapi ingin membeli jajanan seharga $5$ ribu rupiah, maka uangmu masih kurang $2$ ribu rupiah.

Dalam matematika, kondisi "kurang $2$ ribu" ini tidak ditulis sebagai $2$, melainkan sebagai bilangan bertanda negatif, yaitu $-2$. Tanda minus memberi tahu kita arah dari selisih tersebut: saldo akhir berada di bawah nol (defisit).

Membaca Pola Pasangan

Deret yang panjang bisa disederhanakan dengan mengelompokkan angka berdekatan menjadi pasangan-pasangan berpola sama.

Sebuah deret adalah rangkaian bilangan yang dijumlahkan atau dikurangkan secara berurutan, dan tiap bilangan di dalamnya dinamakan suku. Jika kita melihat deret pada soal:

$$1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \dots + 99 - 100$$

menghitung satu per satu dari kiri ke kanan tentu akan sangat panjang. Kuncinya adalah melihat rekap keuangan harian dengan mengelompokkan setiap dua angka berurutan menjadi satu pasang:

• Hari pertama: $(1 - 2)$

• Hari kedua: $(3 - 4)$

• Hari ketiga: $(5 - 6)$, dan seterusnya.

Berdasarkan konsep pengeluaran tadi, $1 - 2$ berarti punya uang $1$ tetapi belanja $2$, sehingga tekor $-1$. Begitu pula pada hari berikutnya: $3 - 4 = -1$, dan $5 - 6 = -1$. Setiap kelompok pasangan ternyata memiliki nilai yang selalu sama, yaitu $-1$.

Banyaknya Pasangan vs Total

Untuk mendapatkan hasil akhir deret, banyaknya kelompok harus dikalikan dengan nilai dari setiap kelompok tersebut.

Mari kita hitung total kelompoknya. Dari angka $1$ sampai $100$, terdapat $100$ bilangan. Karena setiap kelompok terdiri dari $2$ bilangan berdekatan, banyak pasangan yang terbentuk adalah:

$$100 : 2 = 50\text{ pasangan}$$

Di sinilah letak jebakan terbesarnya:

• Opsi A ($50$) baru menyatakan banyaknya pasangan (jumlah hari), bukan total saldo uangnya.

• Opsi B ($0$) keliru mengira deret tambah-kurang ini saling menghapus habis secara simetris.

• Opsi C ($-100$) hanya menyalin suku terakhir deret tanpa menghitung hasil pengelompokan.

Karena selama $50$ pasangan kita konsisten defisit $-1$ di setiap kelompok, total akumulasi nilainya adalah:

$$\text{Hasil Akhir} = 50 \times (-1) = -50$$

Maka, jawaban yang benar adalah Opsi D ($-50$).