Merapikan Aljabar dan Membandingkan Kuantitas

Model Awal

Kalimat perbandingan luas bangun dapat langsung ditulis sebagai persamaan matematika dasar.

Ilustrasi sudut pandang atas dua petak kebun hijau, satu persegi panjang besar kebun apel dan satu persegi kecil kebun jeruk yang luasnya seperempat dari kebun besar.

Bayangkan dua petak tanah kebun. Luas kebun apel (A) yang berbentuk persegi panjang adalah hasil kali panjang dan lebarnya, yaitu $2a \times b = 2ab$. Sementara itu, luas kebun jeruk (B) yang berbentuk persegi dengan sisi patok $a$ memiliki luas sisi dikali sisi, yaitu $a \times a = a^2$.

Soal menyebutkan bahwa luas kebun jeruk (B) adalah seperempat dari luas kebun apel (A). Kita bisa langsung menyusun model persamaannya:

$$a^2 = \frac{1}{4} \times 2ab$$

Agar tidak berhadapan dengan pecahan, kalikan kedua ruas dengan $4$:

$$4a^2 = 2ab$$

Merapikan Variabel

Persamaan dengan variabel yang sama di kedua ruas bisa disederhanakan dengan membaginya, asalkan variabel tersebut tidak bernilai nol.

Diagram alur penyederhanaan aljabar dari 4a² = 2ab menjadi 2a = b dengan pembagian berurutan.

Dari model luas petak kebun sebelumnya, kita memperoleh persamaan patok tanah $4a^2 = 2ab$. Persamaan ini tampak menantang karena di sisi kiri ada bentuk kuadrat $a^2$, sedangkan di sisi kanan ada variabel $a$.

Bagaimana cara merapikannya?

  1. Bagi dengan variabel $a$: Karena $a$ melambangkan ukuran panjang sisi patok tanah, nilainya tidak mungkin nol ($a \neq 0$). Dalam aljabar, kita diizinkan membagi kedua ruas dengan kuantitas bukan nol. Bentuk $4a^2$ dibagi $a$ menyisakan $4a$, dan $2ab$ dibagi $a$ menyisakan $2b$. Persamaan menyusut menjadi $4a = 2b$.

  2. Bagi dengan angka koefisien: Kedua koefisien genap ini bisa disederhanakan dengan membagi kedua ruas dengan $2$. Hasil akhirnya adalah $2a = b$.

Jika diketahui persamaan ukuran luas petak lainnya adalah 3p^2 = 12pq dengan p ≠ 0, bagaimana bentuk hubungan paling sederhana antara p dan q?

  • p = 4q
  • p = 2q
  • 3p = q
  • p^2 = 4q

Jawaban: p = 4q

Bagi kedua ruas dengan p (karena p ≠ 0) untuk memperoleh 3p = 12q. Selanjutnya, bagi kedua ruas dengan 3 sehingga didapatkan p = 4q. Opsi B salah membagi 12 dengan 3 (menghasilkan 2). Opsi C keliru hanya membagi ruas kanan. Opsi D lupa membagi ruas kiri dengan p.

Menyederhanakan persamaan dengan membagi variabel yang sama di kedua ruas.

Substitusi Akhir

Untuk membandingkan dua kuantitas, ubah salah satu variabel menggunakan persamaan hubungan yang sudah ditemukan lewat substitusi.

Tujuan akhir soal adalah membandingkan kuantitas $x$ dan $y$. Pada tabel soal diberikan bahwa:

Hubungan patok yang sudah kita peroleh dari halaman sebelumnya adalah $b = 2a$. Sekarang, kita lakukan substitusi: gantikan variabel $b$ pada rumus kuantitas $y$ dengan bentuk $2a$:

$$y = 2b = 2(2a) = 4a$$

Karena $x = a$, kita cukup menggantikan lambang $a$ dengan $x$. Persamaan langsung menjadi:

$$y = 4x \quad \text{atau} \quad 4x = y$$

Hubungan ini persis sama dengan Opsi E ($4x = y$).

Diketahui kuantitas x = m dan y = 3n. Jika dari perhitungan aljabar didapatkan hubungan m = 2n, hubungan yang tepat antara x dan y adalah...

  • 2x = 3y
  • 3x = 2y
  • x = 6y
  • x = y

Jawaban: 3x = 2y

Diketahui x = m dan m = 2n, maka x = 2n atau n = x/2. Substitusikan n ke dalam y = 3n: y = 3(x/2) = 3x/2. Kalikan kedua ruas dengan 2 untuk menghilangkan pecahan, sehingga didapat 2y = 3x atau 3x = 2y. Opsi A terbalik menempatkan koefisien. Opsi C keliru mengalikan 3 dan 2 pada ruas yang sama. Opsi D mengabaikan faktor pengali.

Melakukan substitusi untuk mencari perbandingan kuantitas akhir.