Eksponen dari Durasi Menit

Menghitung Selang Waktu

Menemukan jumlah menit yang tepat adalah prasyarat sebelum bisa menghitung siklus apa pun.

Bayangkan sebuah mesin cetak timer: setiap timer berdering, kertas yang tercetak berlipat ganda. Namun, sebelum tahu berapa kali mesin itu berbunyi, kita wajib mengetahui durasi operasional mesin secara keseluruhan dari awal hingga akhir.

Untuk menghitung Selang Waktu pengamatan dari pukul $08.00$ pagi ke pukul $11.15$ pagi:

1. Selisih jam dari $08.00$ ke $11.00$ adalah $3\text{ jam}$.

2. Dari pukul $11.00$ ke $11.15$ terdapat sisa $15\text{ menit}$.

3. Durasi totalnya adalah $3\text{ jam } 15\text{ menit}$.

Karena durasi satu siklus dinyatakan dalam menit, ubah seluruh durasi ini ke satuan menit:

$$\Delta t = (3 \times 60\text{ menit}) + 15\text{ menit} = 180 + 15 = 195\text{ menit}$$

Menghitung Banyaknya Siklus

Banyaknya siklus yang terjadi didapat dengan membagi total durasi dengan panjang satu periode.

Pada analogi mesin cetak timer, seluruh durasi waktu yang tersedia dipotong-potong menjadi blok waktu tetap sesuai interval dering timer. Waktu tetap untuk menyelesaikan satu kali siklus kejadian ini disebut Periode.

Untuk mencari banyaknya periode ($n$), bagi Selang Waktu total dengan waktu per periode:

$$n = \frac{\text{Total waktu}}{\text{Waktu per periode}} = \frac{195\text{ menit}}{30\text{ menit}} = 6{,}5$$

Nilai desimal seperti $6{,}5$ ini lumrah terjadi. Artinya, proses pengamatan selesai tepat di tengah-tengah siklus pembelahan ketujuh.

Menyusun Model Eksponen

Jumlah periode diletakkan sebagai bilangan pangkat dalam rumus eksponensial.

Setiap kali timer berdering satu kali, populasi dikalikan $2$. Jika timer berdering $n$ kali, populasi awal akan dikalikan dengan faktor $2$ sebanyak $n$ kali, yang dituliskan sebagai Eksponen $2^n$.

Rumus umum pertumbuhan eksponensial ini adalah:

$$N_t = N_0 \times r^n$$

Dengan populasi awal $N_0 = 1.000$, rasio pelipatan $r = 2$, dan jumlah periode $n = 6{,}5$:

$$N_t = 1.000 \times 2^{6{,}5}$$

Maka, ekspresi matematis yang tepat adalah Opsi C ($1.000 \times 2^{6{,}5}$).

Mari kita bedah alasan opsi-opsi lainnya keliru:

• Opsi A ($1.000 \times 2^{4{,}5}$) salah karena menggunakan $n = 4{,}5$, yang setara dengan durasi keliru $135\text{ menit}$ (seolah waktu berakhir pukul 10.15).

• Opsi B ($1.000 \times 2^{5}$) salah karena memakai $n = 5$ ($150\text{ menit}$), akibat salah menjumlahkan jam menjadi hanya $2\text{ jam } 30\text{ menit}$.

• Opsi D ($1.000 \times 2^{7}$) salah karena membulatkan paksa $6{,}5$ ke atas menjadi $7$ ($210\text{ menit}$ atau $3{,}5\text{ jam}$).

• Opsi E ($1.000 \times 2^{7{,}5}$) salah karena menggunakan durasi keliru $225\text{ menit}$ (seakan pengamatan berlangsung selama $3\text{ jam } 45\text{ menit}$).