Membedah Alokasi Bertingkat: Pecahan, Sisa, & Rasio

Jebakan Kata 'Dari Total' vs 'Dari Sisa'

Langkah pertama dalam soal alokasi adalah mengidentifikasi basis pengambilan: apakah dari total awal atau dari sisa yang ada.

Bayangkan seluruh panen padi Pak Budi sebagai sebuah kue tar raksasa utuh yang kita sebut $x$. Pertama, tengkulak mengambil porsi $\frac{1}{4}$ bagian langsung dari kue utuh tersebut:

$$\text{Bagian tengkulak} = \frac{1}{4}x$$

Setelah tengkulak memotong kuenya, ukuran kue yang tertinggal di atas meja bukanlah kue utuh lagi, melainkan sisa sebesar:

$$x - \frac{1}{4}x = \frac{3}{4}x$$

Tahap berikutnya adalah alokasi lumbung sebanyak $20\%$ (atau $\frac{1}{5}$). Di sinilah jebakan paling sering terjadi. Teks soal menyatakan bahwa $20\%$ ini diambil dari sisa hasil panen, bukan dari total kue awal.

Karena basis kuenya sudah menyusut menjadi $\frac{3}{4}x$, maka ukuran jatah lumbung harus dihitung dari potongan sisa tersebut:

$$\text{Bagian lumbung} = \frac{1}{5} \times \frac{3}{4}x = \frac{3}{20}x$$

Eksplorasi interaktif di atas memperlihatkan bagaimana ukuran potongan lumbung bergantung langsung pada basisnya. Mengambil $20\%$ dari sisa kue ($\frac{3}{4}x$) menghasilkan $\frac{3}{20}x$ (atau $15\%$ dari total awal). Nilai ini jelas lebih kecil daripada jika kita langsung memotong $20\%$ dari kue utuh.

Menggabungkan Pecahan, Persen, dan Desimal

Untuk menjumlahkan seluruh alokasi, semua bentuk bilangan (pecahan, persen, desimal) harus diseragamkan ke satu bentuk yang sama, misalnya pecahan dengan penyebut yang sama.

Sejauh ini, kita sudah mengantongi dua alokasi kue panen yang sama-sama telah dinyatakan dalam kelipatan total panen ($x$):

• Tengkulak: $\frac{1}{4}x$

• Lumbung: $\frac{3}{20}x$

Selanjutnya, Pak Budi menyisihkan zakat dan bantuan sosial sebesar $0{,}3$ bagian dari total hasil panen awal. Karena basisnya adalah total kue awal ($x$), kita cukup mengubah desimal $0{,}3$ menjadi pecahan biasa, yaitu $\frac{3}{10}x$.

Sekarang, satukan ketiga alokasi tersebut dengan menyamakan penyebutnya menjadi $20$:

$$\begin{aligned} \text{Total terpakai} &= \frac{1}{4}x + \frac{3}{20}x + \frac{3}{10}x \\ &= \frac{5}{20}x + \frac{3}{20}x + \frac{6}{20}x \\ &= \frac{14}{20}x = \frac{7}{10}x \end{aligned}$$

Diagram lingkaran di atas memperlihatkan bahwa jika kue tar raksasa dibagi menjadi $20$ irisan kecil yang sama besar, maka sebanyak $14$ irisan sudah terpakai untuk tengkulak ($5$ irisan), lumbung ($3$ irisan), dan zakat ($6$ irisan).

Artinya, sisa kue akhir yang belum dialokasikan sama sekali adalah:

$$\text{Sisa akhir} = x - \frac{7}{10}x = \frac{3}{10}x$$

Menerjemahkan Rasio ke Bentuk Pecahan

Rasio perbandingan menyatakan porsi relatif; untuk mengubahnya menjadi pecahan, bagi angka rasio tersebut dengan jumlah seluruh angka dalam rasio.

Sisa kue akhir yang tersisa di atas meja adalah $\frac{3}{10}x$. Sisa ini kemudian dibagi untuk dua peruntukan, yaitu bibit dan pakan ternak dengan rasio $2 : 1$.

Rasio $2 : 1$ artinya sisa kue yang ada kita potong lagi menjadi $3$ bagian kecil yang setara ($2 + 1 = 3$ bagian total):

• Bibit mendapatkan $2$ bagian dari total $3$ bagian, sehingga porsinya adalah $\frac{2}{3}$ dari sisa akhir.

• Pakan ternak mendapatkan $1$ bagian dari total $3$ bagian, sehingga porsinya adalah $\frac{1}{3}$ dari sisa akhir.

Berdasarkan diagram balok di atas, kita dapat menghitung porsi bibit terhadap keseluruhan panen awal ($x$):

$$\text{Bagian bibit} = \frac{2}{3} \times \frac{3}{10}x = \frac{2}{10}x = \frac{1}{5}x$$