Dilatasi Geometri: Dari Desain ke Layar

Menghitung Faktor Skala

Sebelum mencari ukuran baru, kita harus menentukan faktor skala pembesarannya terlebih dahulu dari data yang ada.

Pada peristiwa dilatasi (perubahan ukuran tanpa mengubah bentuk asli), setiap dimensi objek dikalikan dengan sebuah angka pengali yang disebut faktor skala ($k$). Berdasarkan spesifikasi proyektor pada soal, nilai faktor skala ditentukan oleh jarak proyektor ke layar:

$$k = 0{,}6 \times \text{jarak}$$

Karena proyektor diletakkan pada jarak $3\text{ meter}$, kita peroleh:

$$k = 0{,}6 \times 3 = 1{,}8$$

Desain awal gedung memiliki ukuran $60\text{ cm} \times 60\text{ cm}$. Agar satuan ukuran setara dengan layar, kita ubah ke meter:

$$60\text{ cm} = 0{,}6\text{ m}$$

Bayangkan memperbesar gambar menggunakan kotak (grid): tiap sisi kotak dikalikan dengan faktor yang sama. Maka, panjang dan lebar tampilan di layar dihitung dengan:

$$\text{Panjang tampilan} = 1{,}8 \times 0{,}6\text{ m} = 1{,}08\text{ m}$$

$$\text{Lebar tampilan} = 1{,}8 \times 0{,}6\text{ m} = 1{,}08\text{ m}$$

Proporsi Tetap Terjaga

Pembesaran yang proporsional mengubah ukuran panjang dan lebar dengan pengali yang sama, sehingga rasio aslinya tetap terjaga.

Ketika bangun datar mengalami dilatasi dengan faktor skala yang seragam ke semua arah, bangun tersebut membesar secara proporsional. Artinya, jika objek mula-mula berbentuk persegi, maka setelah diperbesar bentuk akhirnya tetap berupa persegi sempurna.

Pada layar proyektor, ukuran panjang adalah $1{,}08\text{ m}$ dan lebarnya adalah $1{,}08\text{ m}$. Perbandingan ukuran tampilan desain di layar adalah:

$$\text{Panjang} : \text{Lebar} = 1{,}08 : 1{,}08 = 1 : 1$$

Pernyataan pada Opsi A membandingkan rasio panjang terhadap lebar tampilan desain itu sendiri, bukan membandingkan tampilan akhir dengan ukuran asli gambar. Karena rasionya terbukti $1 : 1$, maka Opsi A bernilai Benar.

Mengepaskan dengan Layar

Untuk memastikan gambar tidak terpotong, panjang dan lebar akhir objek harus lebih kecil dari kapasitas batas wadah atau layar.

Saat sebuah objek diletakkan di dalam suatu bidang, ada dua syarat batas dimensi yang wajib dipenuhi secara bersamaan agar objek tidak terpotong:

1. Panjang (atau lebar horizontal) objek $\le$ Lebar layar

2. Lebar (atau tinggi vertikal) objek $\le$ Tinggi layar

Ukuran layar pada soal adalah $2{,}4\text{ meter} \times 1{,}8\text{ meter}$, sedangkan gambar desain yang diproyeksikan berukuran $1{,}08\text{ meter} \times 1{,}08\text{ meter}$. Mari kita periksa kedua dimensinya:

• Arah horizontal: $1{,}08\text{ m} < 2{,}4\text{ m}$ (masih menyisakan ruang)

• Arah vertikal: $1{,}08\text{ m} < 1{,}8\text{ m}$ (masih menyisakan ruang)

Karena kedua dimensi gambar berada di dalam batas luas layar, gambar desain gedung tertampil secara utuh tanpa ada yang terpotong. Oleh karena itu, Opsi C yang menyatakan bahwa ada bagian gambar asli yang terpotong bernilai Salah.