Menjinakkan Persamaan Eksponen & Kecukupan Data

Keluarga Besar Angka 3

Sering kali, langkah pertama pas ketemu soal eksponen yang keliatan ribet (ada angka 27, 81, dsb.) bikin kita bingung mau mulai dari mana. Nah, trik utamanya adalah mencari kesamaan di antara angka-angka besar itu.

Coba perhatiin angka $3$, $27$, dan $81$. Mereka sebenarnya berasal dari "keluarga" yang sama, yaitu kelipatan pangkat dari basis $3$.

• $3$ adalah $3^1$

• $27$ adalah $3 \times 3 \times 3$ atau $3^3$

• $81$ adalah $3 \times 3 \times 3 \times 3$ atau $3^4$

Kalau kita punya bilangan berpangkat yang dipangkatkan lagi, seperti $27^q$, kita bisa mengganti $27$ menjadi $3^3$, lalu menggunakan aturan $(a^m)^n = a^{m \times n}$. Jadi, $(3^3)^q$ berubah menjadi $3^{3q}$. Jauh lebih sederhana, kan?

Akar Adalah Pangkat Menyamar

Selain angka besar, musuh lain yang bikin persamaan eksponen keliatan horor adalah bentuk akar (seperti $\sqrt{3^p}$). Padahal, akar itu cuma pangkat pecahan yang lagi menyamar!

Secara umum, akar kuadrat dari suatu bilangan sama dengan bilangan itu dipangkatkan $\frac{1}{2}$. Artinya, $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$.

Mari kita bedah bentuk di soal:

1. $\sqrt{3^p}$ bisa langsung kita tulis ulang sebagai $(3^p)^{\frac{1}{2}}$, yang berdasarkan sifat pangkat menjadi $3^{\frac{p}{2}}$.

2. Untuk $\sqrt{27^{2x}}$, ubah dulu $27$ menjadi $3^3$. Jadinya $\sqrt{(3^3)^{2x}} = \sqrt{3^{6x}}$. Lalu terapkan aturan akar tadi: $(3^{6x})^{\frac{1}{2}} = 3^{3x}$.

Aturan Lalu Lintas Eksponen

Setelah semua angka berubah jadi basis $3$ dan akarnya hilang, persamaan kita jadi kumpulan angka $3$ berpangkat. Sekarang, waktunya menggabungkan mereka!

Aturannya sederhana:

• Kalau dibagi, pangkatnya dikurangkan. Jadi, ruas kiri $\frac{3^x}{3^{3q}}$ bergabung menjadi $3^{x - 3q}$.

• Kalau dikali, pangkatnya ditambahkan. Jadi, ruas kanan $3^4 \times 3^{\frac{p}{2}} \times 3^{3x}$ bergabung menjadi $3^{4 + \frac{p}{2} + 3x}$.

Sekarang kita punya persamaan seimbang: $3^{x - 3q} = 3^{4 + 3x + \frac{p}{2}}$. Karena basis di kiri dan kanan sudah sama-sama $3$, ibarat menimbang berat, kita bisa fokus menyamakan "muatan" di atasnya saja (pangkatnya).

$x - 3q = 4 + 3x + \frac{p}{2}$

Kalau kita kalikan semua ruas dengan $2$ (biar nggak ada pecahan) lalu merapikan posisi huruf dan angka, kita bakal dapat persamaan inti: $p + 6q = -4x - 8$.