Pecahan Aljabar: Mengurai Jebakan Tanda

Misteri Pengurangan Terbalik

Pernah kepikiran nggak, kenapa $5 - 2$ itu $3$, tapi kalau dibalik jadi $2 - 5$ hasilnya malah $-3$? Angkanya sama persis, cuma beda tanda plus dan minus!

Di aljabar, pola sederhana ini sering banget muncul tapi pakai huruf, yaitu $(a-b)$ dan $(b-a)$. Banyak yang kejebak mengira dua bentuk ini sama saja karena variabelnya sama. Padahal, mengurangkan dengan urutan terbalik selalu menghasilkan angka yang berlawanan tanda.

Mari kita buktikan. Kalau kita punya $(b-a)$, kita bisa susun ulang menjadi $-a + b$. Terus, kita "tarik" (faktorkan) angka $-1$ ke luar kurung, jadinya $-(a-b)$. Aha! Ternyata $(b-a)$ itu sama persis dengan $-(a-b)$.

Berdasarkan prinsip pengurangan terbalik, manakah bentuk yang ekuivalen dengan pecahan aljabar $\frac{x - 3}{3 - x}$ (asalkan $x \neq 3$)?

  • A. 1
  • B. -1
  • C. $x - 3$
  • D. 0

Jawaban: B. -1

Penyebut (3-x) bisa ditulis ulang menjadi -(x-3). Jadi (x-3)/-(x-3) = -1. Pembagian nilai yang berlawanan tanda selalu menghasilkan -1.

Bentuk (b-a) adalah kebalikan dari (a-b), sehingga jika dibagikan hasilnya selalu -1.

Trik "Keluarkan Minus"

Sekarang kita coba pakai "senjata rahasia" dari halaman sebelumnya buat nyelesaiin pecahan aljabar. Coba lihat suku pertama dari soal kita: $\frac{xy-y^2}{xy-x^2}$.

Kalau kita faktorkan seperti biasa, kita keluarkan $y$ di atas dan $x$ di bawah: $\frac{y(x-y)}{x(y-x)}$

Nah, di sini letak jebakannya! Kita punya $(x-y)$ di atas dan $(y-x)$ di bawah. Jangan buru-buru dicoret dan dianggap habis. Ingat aturan sebelumnya: kita bisa paksa bentuknya jadi sama dengan "meminjam" tanda minus. Ubah penyebutnya: $x(y-x)$ menjadi $-x(x-y)$.

Tentukan kebenaran dari pernyataan berikut saat menyederhanakan aljabar!

  • Bentuk $2(a-b)$ sama nilainya dengan $-2(b-a)$. — Benar
  • Pecahan $\frac{p-q}{q-p}$ dapat disederhanakan menjadi 1 karena variabelnya sama. — Salah

Pernyataan 1 Benar, karena menarik keluar minus dari (b-a) akan membalik tandanya menjadi -(a-b), dikali -2 jadi 2(a-b). Pernyataan 2 Salah, bentuk terbalik jika dibagikan akan menghasilkan -1, bukan 1.

Kita bisa membalik urutan pengurangan dengan mengalikannya dengan -1.

Garis Pecahan = Kurung Tak Kasatmata

Pernah ngitung pengurangan pecahan aljabar terus jawabannya salah tanda? Biasanya pelakunya satu: lupa kalau garis pecahan itu sebenarnya berfungsi sebagai tanda kurung transparan.

Kita tes pakai angka biasa: $-\frac{10 + 2}{2}$. Kalau minusnya cuma kamu kasih ke angka $10$, hasilnya jadi $\frac{-10 + 2}{2} = -4$. Tapi coba hitung yang benar: $10+2=12$, dibagi $2=6$, lalu dikasih minus depannya jadi $-6$. Beda kan? Yang benar itu minusnya milik seluruh pembilang, seperti ini: $\frac{-(10+2)}{2} = \frac{-10 - 2}{2} = -6$.

Di aljabar juga sama! Saat kamu ketemu $-\frac{x^2 - y^2}{xy}$, biasakan anggap ada kurung pelindung di pembilangnya. Ubah operasinya jadi penjumlahan bilangan negatif: $+ \frac{-(x^2 - y^2)}{xy}$.

Hasil dari operasi aljabar $3x - \frac{x - 2y}{2}$ adalah...

  • A. $\frac{5x - 2y}{2}$
  • B. $\frac{5x + 2y}{2}$
  • C. $\\frac{6x - 2y}{2}$
  • D. $\frac{7x + 2y}{2}$

Jawaban: B. $\frac{5x + 2y}{2}$

Samakan penyebut jadi 2, maka jadi $\frac{6x}{2} - \frac{x-2y}{2}$. Gabungkan: $\frac{6x - (x - 2y)}{2}$. Distribusikan minusnya: $\frac{6x - x + 2y}{2} = \frac{5x + 2y}{2}$.

Tanda minus pada pecahan berlaku sebagai tanda kurung untuk seluruh pembilang.