Menjerat Range: Menguasai Titik Puncak Parabola
Mengenal Ulang Domain dan Range
Domain adalah nilai masukan (sumbu X), sedangkan range adalah nilai luaran (sumbu Y) yang terbentuk.
Bayangkan sebuah mesin cetak foto dan bingkai. Domain adalah rentang ukuran kertas foto mentah yang kita masukkan ke dalam celah mesin (diwakili oleh sumbu horizontal $X$). Sementara itu, range adalah rentang ukuran foto terbingkai yang selesai dicetak dan keluar di baki penampung (diwakili oleh sumbu vertikal $Y$).
Dalam soal kita, batas $\{x \mid 0 \le x \le 5, x \in \mathbb{R}\}$ murni merupakan batas masukan (domain), bukan batas hasil cetakan.
Sumbu mendatar mengatur seberapa lebar jendela input yang dibuka, sedangkan sumbu tegak mencatat seluruh jejak nilai yang berhasil dicapai oleh grafik.
Jika diberikan rentang input tertentu pada garis mendatar grafik fungsi, kumpulan nilai yang tersorot pada garis tegak menunjukkan...
- Domain fungsi tersebut
- Range fungsi tersebut
- Nilai titik puncak fungsi
- Kodomain yang tidak terpakai
Jawaban: Range fungsi tersebut
Sumbu tegak (Y) pada bidang koordinat memetakan seluruh nilai keluaran atau daerah hasil fungsi (range), sedangkan sumbu mendatar (X) mewakili daerah asal (domain). Pengecoh A terbalik menukar peran sumbu horizontal dan vertikal, sedangkan opsi C dan D keliru menganggap rentang luaran sebagai sebuah titik tunggal atau elemen luar yang tak terpakai.
Domain selalu diplot pada sumbu mendatar dan range pada sumbu tegak.
Bentuk Kuadrat Sempurna dan Arah Kurva
Bentuk $a>0$ memastikan parabola terbuka ke atas dan punya sebuah lembah titik minimum.
Pada fungsi kuadrat $f(x) = x^2 - 4x + 1$, koefisien suku kuadratnya adalah $a=1$. Karena nilainya positif ($a > 0$), kurva parabola melengkung ke atas membentuk senyuman. Bentuk ini memiliki titik paling dasar—sebuah lembah terendah yang menjadi titik minimum, bukan puncak gunung.
Kita bisa membuktikan letak lembah ini dengan teknik aljabar kuadrat sempurna:
$$\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 4x + 1 \\ &= (x^2 - 4x + 4) - 4 + 1 \\ &= (x - 2)^2 - 3 \end{aligned}$$
Perhatikan bagian kuadrat $(x - 2)^2$. Bilangan real apa pun jika dikuadratkan hasilnya tidak pernah negatif, artinya $(x - 2)^2 \ge 0$. Nilai terkecil dari suku kuadrat ini adalah $0$, yang terjadi tepat saat $x = 2$.
Tentukan kebenaran dari setiap pernyataan berikut mengenai fungsi $g(x) = 2x^2 + 8x - 1$:
- Karena koefisien $x^2$ bernilai $2$, fungsi tersebut memiliki titik puncak berupa nilai minimum. — Benar
- Kurva terbuka ke bawah seperti payung. — Salah
Pernyataan 1 Benar: Koefisien a = 2 bernilai positif (a > 0), sehingga parabola terbuka ke atas dan memiliki titik terendah berupa nilai minimum. Pernyataan 2 Salah: Parabola terbuka ke bawah hanya jika koefisien kuadratnya bernilai negatif (a < 0).
Fungsi kuadrat dengan koefisien kuadrat positif selalu memiliki nilai minimum.
Mengapa Ujung Interval Bisa Mengecoh
Menghitung hanya batas ujung domain dapat melupakan nilai ekstrem puncak yang tersembunyi di tengah interval.
Mari kita masukkan kedua batas ujung domain yang diberikan soal, yaitu $[0, 5]$, langsung ke dalam mesin $f(x) = x^2 - 4x + 1$:
Ujung kiri ($x = 0$): $f(0) = (0)^2 - 4(0) + 1 = 1$
Ujung kanan ($x = 5$): $f(5) = (5)^2 - 4(5) + 1 = 25 - 20 + 1 = 6$
Jika kita terburu-buru menyimpulkan bahwa luaran fungsi hanya bergerak di antara hasil ujung kiri dan ujung kanan, kita akan mengira daerah hasilnya adalah $1 \le y \le 6$. Inilah perangkap yang disiapkan pada Opsi A.
Mengapa kesimpulan Opsi A keliru? Karena kurva kuadrat bukanlah garis lurus! Absis titik puncak berada di:
$$x_p = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2(1)} = 2$$
Karena angka $2$ berada di dalam jendela domain $[0, 5]$, kurva dari titik $(0, 1)$ meluncur turun terlebih dahulu ke lembah terdalamnya di $(2, -3)$, barulah melesat naik menanjak menuju $(5, 6)$.
Sebuah fungsi kuadrat cekung ke atas memiliki titik puncak di $x=3$ dengan nilai terendah $y=2$. Di ujung interval domain $[1, 4]$, dijumpai nilai fungsi $f(1)=8$ dan $f(4)=3$. Jika seseorang menyatakan range fungsi tersebut adalah $3 \le y \le 8$, kesalahan apa yang dilakukannya?
- Dia lupa mengecek bahwa puncaknya ($x=3$) termasuk di interval dan punya nilai yang lebih rendah.
- Dia seharusnya mengurangi batas bawah dengan batas atas domain sebelum menghitung.
- Range tidak boleh mencakup nilai di dalam interval domain yang bersangkutan.
- Dia salah menghitung ujung batas kanannya menjadi 3 saat memasukkan rumus.
Jawaban: Dia lupa mengecek bahwa puncaknya ($x=3$) termasuk di interval dan punya nilai yang lebih rendah.
Jawaban benar adalah A karena absis titik puncak x = 3 berada di dalam interval [1, 4]. Dengan nilai puncak y = 2, nilai tersebut lebih rendah daripada f(4) = 3 dan f(1) = 8, sehingga menjadi nilai minimum interval sesungguhnya. Pengecoh B dan C menyajikan aturan aljabar yang tidak berdasar, sedangkan pengecoh D keliru menduga kesalahan hitung aritmetika biasa.
Keberadaan titik ekstrim di dalam interval mengubah nilai minimum/maksimum fungsi secara drastis dibandingkan ujungnya.