Domain Operasi Fungsi Bercabang

Mesin dengan Banyak Aturan

Waktu pertama kali lihat fungsi dengan tanda kurung kurawal kayak $f(x) = \begin{cases} -3, & x \le -1 x, & x > -1 \end{cases}$, wajar banget kalau ngerasa bingung. Bentuknya yang bercabang sering bikin kita mikir, "Wah, ini fungsinya ada dua ya?"

Padahal, nggak sama sekali. Fungsi kurawal (atau piecewise function) itu sebenarnya cuma satu mesin, tapi dia punya "banyak aturan".

Nah, tanda kurung kurawal pada $f(x)$ dan $g(x)$ di soal berfungsi persis kayak petugas tiket itu. Syarat di sebelah kanan (seperti $x \le -1$) cuma buat ngecek: "Apakah angka yang masuk memenuhi kriteria ini?" Kalau iya, pakai rumus yang ada di sebelahnya.

Yuk kita tes sebentar pemahamanmu!

Dalam suatu fungsi bercabang $f(x)$ dengan aturan kurung kurawal, apa sebenarnya peran dari syarat-syarat interval seperti $x < 1$ dan $x \ge 1$?

A. Itu adalah dua fungsi berbeda yang harus digambar pada grafik yang saling terpisah.
B. Itu adalah kondisi yang menentukan rumus mana yang harus dipakai oleh mesin fungsi untuk angka x tertentu.
C. Itu adalah hasil akhir atau nilai output (y) dari fungsi tersebut.
D. Itu berarti fungsi tersebut akan mengalami error saat memproses angka batasnya (misal angka 1).

Jawaban: B. Itu adalah kondisi yang menentukan rumus mana yang harus dipakai oleh mesin fungsi untuk angka x tertentu.

Syarat dalam tanda kurung kurawal berfungsi sebagai 'penyeleksi' atau petugas pemeriksa. Mesin fungsinya tetap cuma SATU, tapi rumus yang dipakai untuk memproses angka x akan disesuaikan dengan syarat mana yang dipenuhi oleh angka tersebut.

Fungsi bercabang (piecewise) adalah satu fungsi tunggal yang memiliki aturan/rumus berbeda tergantung pada syarat input (nilai x) yang memasukinya.

Memetakan Wilayah di Garis Bilangan

Sekarang kita tahu bahwa fungsi bercabang cuma mesin dengan kondisi. Pertanyaan pentingnya: angka berapa aja sih yang bisa masuk ke mesin ini? (Inilah yang disebut daerah asal atau domain).

Mari kita bedah fungsi $f(x)$ dari soal:

Aturan 1: untuk $x \le -1$. Artinya, semua angka dari -1 ke kiri punya aturannya.
Aturan 2: untuk $x > -1$. Artinya, semua angka tepat setelah -1 ke kanan juga punya aturannya.

Kalau kita bayangkan sebuah garis bilangan, syarat-syarat ini sebenarnya cuma membagi wilayah.

Coba kamu perhatikan: apakah ada bagian dari garis bilangan yang bolong alias TIDAK kebagian aturan? Jawabannya: tidak ada. Semua angka, dari yang paling negatif sampai yang paling positif, tercakup (ter-cover).

Artinya, fungsi $f(x)$ ini siap menerima angka berapapun. Dalam bahasa matematika, daerah asalnya adalah seluruh bilangan real, atau ditulis $x | x \in \mathbb{R}$.

Perhatikan fungsi $g(x)$ dari soal. Aturannya: bernilai $3$ jika $x < 1$, dan bernilai $2x^2+x$ jika $x \ge 1$. Tentukan kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut mengenai daerah asal (domain) fungsi $g(x)$!

Angka 1 tidak memiliki aturan karena pada syarat $x < 1$ tidak menggunakan tanda sama dengan. — Salah
Fungsi g(x) ini diizinkan untuk menerima input berupa bilangan real negatif apa pun. — Benar
Daerah asal dari g(x) adalah himpunan seluruh bilangan real. — Benar

Angka 1 akan masuk ke aturan bawah ($x \ge 1$). Angka negatif apa pun akan masuk aturan atas ($x < 1$). Karena seluruh wilayah garis bilangan punya aturan, daerah asalnya menutupi seluruh bilangan real ($\mathbb{R}$).

Syarat x pada fungsi bercabang membagi daerah asal; jika digabung dan menutupi seluruh garis bilangan tanpa ada yang bolong, maka domainnya adalah Himpunan Bilangan Real.

Jebakan Aljabar $(f - g)(x)$

Di soal, kita diminta mencari daerah asal dari fungsi kombinasi $(f - g)(x)$.

Ingat lagi arti daerah asal: angka apa yang boleh masuk? Agar suatu angka $x$ sah dimasukkan ke operasi $(f - g)(x)$, angka itu wajib bisa diproses oleh mesin f, DAN wajib juga bisa diproses oleh mesin g.

Ibarat mau masak resep kue yang butuh tepung (f) dan telur (g). Kalau salah satu bahannya basi atau nggak ada, kuenya batal dibikin!

Jadi, aturan emas untuk kombinasi fungsi (entah ditambah, dikurang, atau dikali) adalah: Domain $(f - g)$ adalah IRISAN dari Domain $f$ dan Domain $g$.

Kita sama sekali nggak perlu ngurangin rumus aljabarnya. Cukup cari irisan dari "angka yang boleh masuk f" dan "angka yang boleh masuk g". Selesai!

Secara konsep, jika kita ingin mencari daerah asal dari suatu operasi pengurangan fungsi seperti $(f-g)(x)$, langkah apa yang paling tepat dan efisien untuk dilakukan?

A. Mengurangkan rumus aljabar f(x) dan g(x) terlebih dahulu hingga menemukan satu rumus gabungan, lalu mencari nilai x yang memenuhi.
B. Mencari irisan (daerah yang sama-sama sah dan memenuhi syarat) dari domain f(x) dan domain g(x).
C. Menggabungkan atau menjumlahkan semua syarat yang muncul di f(x) dan g(x) sehingga daerahnya semakin luas.
D. Memasukkan angka 0 secara acak ke dalam fungsi f(x) dan g(x) untuk mengecek apakah hasilnya nol.

Jawaban: B. Mencari irisan (daerah yang sama-sama sah dan memenuhi syarat) dari domain f(x) dan domain g(x).

Operasi $(f-g)(x)$ membutuhkan nilai dari $f(x)$ DAN $g(x)$ sekaligus. Ibarat resep masakan yang butuh 2 bahan baku, kalau salah satu bahan dilarang (tidak memenuhi syarat/domain), maka masakannya gagal total. Oleh karena itu, kita cukup mencari irisannya, tidak perlu repot-repot mengurangkan aljabarnya di awal!

Daerah asal (domain) dari operasi aljabar kombinasi antar fungsi seperti $(f-g)(x)$ adalah irisan dari domain $f(x)$ dan domain $g(x)$.