Rotasi Geometri: Menguasai Matriks & Sudut

Mengingat Tanda Sudut

Dalam rotasi koordinat, arah berlawanan jarum jam bernilai positif (+), sedangkan searah jarum jam bernilai negatif (-).

Bayangkan baling-baling kincir angin dengan poros di pusat $(0,0)$. Saat baling-baling berputar ke kiri (melawan arah jarum jam), sudut putarannya dihitung bertambah atau bertanda positif. Sebaliknya, saat baling-baling berputar ke kanan (searah jarum jam), sudut putarannya berkurang atau bertanda negatif.

Diagram lingkaran penentuan tanda sudut rotasi searah dan berlawanan jarum jam.

Konvensi tanda sudut ini menjadi langkah awal sebelum memasukkan nilai ke rumus:

Pada rotasi $30^\circ$ searah jarum jam, sudut yang dipakai adalah $\theta = -30^\circ$.
Pada rotasi $30^\circ$ berlawanan arah jarum jam, sudut yang dipakai adalah $\theta = 30^\circ$.

Trik Matriks Rotasi

Rumus panjang rotasi berasal dari pola matriks yang sangat teratur: diagonal utamanya selalu cosinus, diagonal lainnya selalu sinus dengan satu tanda minus.

Menghafal rumus transformasi koordinat sebagai deretan variabel acak $x' = x \cos \theta - y \sin \theta$ dan $y' = x \sin \theta + y \cos \theta$ sering membuat komponen tertukar. Padahal, rumus ini lahir dari perkalian matriks transformasi $2 \times 2$ dengan titik koordinat awal:

$$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$

Ilustrasi kotak matriks rotasi dua kali dua dengan pembeda warna diagonal cosinus dan sinus.

Daripada menghafal baris aljabar yang panjang, ingatlah bentuk kotaknya secara visual:

Diagonal utama (dari kiri atas ke kanan bawah) diisi oleh $\cos \theta$. Keduanya bertanda positif sama.
Diagonal lainnya diisi oleh $\sin \theta$, dengan tanda minus hanya di pojok kanan atas ($-\sin \theta$).

Dengan mengingat letak kotak-kotak ini, hasil kali baris dengan kolom akan langsung menghasilkan rumus rotasi tanpa risiko tertukar tanda.

Manakah susunan elemen matriks rotasi standar (berlawanan arah jarum jam) yang benar?

Baris pertama: [cos θ, -sin θ], Baris kedua: [sin θ, cos θ]
Baris pertama: [sin θ, -cos θ], Baris kedua: [cos θ, sin θ]
Baris pertama: [cos θ, sin θ], Baris kedua: [-sin θ, cos θ]
Baris pertama: [cos θ, -sin θ], Baris kedua: [-sin θ, cos θ]

Jawaban: Baris pertama: [cos θ, -sin θ], Baris kedua: [sin θ, cos θ]

Matriks rotasi standar berlawanan arah jarum jam memiliki diagonal utama berisi cos θ dan diagonal samping berisi sin θ dengan tanda minus tepat di posisi kanan atas (baris pertama, kolom kedua). Opsi B salah karena posisi sin dan cos tertukar. Opsi C salah karena tanda minus diletakkan di baris kedua. Opsi D salah karena memberikan tanda minus ganda pada komponen sinus.

Bentuk dan penempatan elemen pada matriks rotasi standar 2D.

Mengeksekusi Rotasi

Substitusi nilai awal ke dalam matriks rotasi membutuhkan ketelitian dalam menghitung nilai trigonometri sudut istimewa.

Ujung baling-baling kincir angin bermula di $(0,8)$. Karena absis awalnya $x = 0$, perkalian baris matriks menjadi sangat ringkas: $x' = -8 \sin \theta$ dan $y' = 8 \cos \theta$.

Mari kita bedah setiap opsi rotasi dari posisi awal $(0,8)$:

Rotasi $30^\circ$ searah jarum jam ($\theta = -30^\circ$): Ingat sifat sudut negatif, yaitu $\cos(-30^\circ) = \cos(30^\circ) = \frac{1}{2}\sqrt{3}$ dan $\sin(-30^\circ) = -\sin(30^\circ) = -\frac{1}{2}$.
$$x' = 0 - 8\left(-\frac{1}{2}\right) = 4, \quad y' = 0 + 8\left(\frac{1}{2}\sqrt{3}\right) = 4\sqrt{3}$$
Maka posisinya $(4, 4\sqrt{3})$, sehingga **Opsi A benar** dan **Opsi B salah**.
Rotasi $30^\circ$ berlawanan arah jarum jam ($\theta = 30^\circ$):
$$x' = 0 - 8\left(\frac{1}{2}\right) = -4, \quad y' = 0 + 8\left(\frac{1}{2}\sqrt{3}\right) = 4\sqrt{3}$$
Maka posisinya $(-4, 4\sqrt{3})$, sehingga **Opsi D benar** dan **Opsi C salah**. Kemunculan unsur $\sqrt{2}$ pada **Opsi B** dan **Opsi C** langsung menandakan kesalahan hitung karena $\sqrt{2}$ adalah ciri khas sudut $45^\circ$, bukan $30^\circ$.
Rotasi $60^\circ$ berlawanan arah jarum jam ($\theta = 60^\circ$):
$$x' = 0 - 8\left(\frac{1}{2}\sqrt{3}\right) = -4\sqrt{3}, \quad y' = 0 + 8\left(\frac{1}{2}\right) = 4$$
Hasil yang tepat adalah $(-4\sqrt{3}, 4)$, sehingga **Opsi E salah** karena tertukar substitusi nilai fungsi atau salah memproses matriks rotasi hingga menghasilkan $(8\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$.

Sebuah titik di (4,0) dirotasi sejauh 60° berlawanan arah jarum jam terhadap pusat (0,0). Berapakah koordinat barunya?

(2, 2√3)
(2√3, 2)
(2√2, 2√2)
(-2, 2√3)

Jawaban: (2, 2√3)

Dengan rumus rotasi x' = x cos(60°) - y sin(60°) dan y' = x sin(60°) + y cos(60°) untuk titik awal (4,0): x' = 4(1/2) - 0 = 2, sedangkan y' = 4((1/2)√3) + 0 = 2√3. Jadi titik mendarat di (2, 2√3). Opsi B salah karena nilai sin dan cos tertukar. Opsi C salah karena memakai nilai sudut 45° (memuat √2). Opsi D salah tanda pada koordinat x'.

Kemampuan menerapkan matriks rotasi pada titik sederhana dan sudut istimewa.