Membongkar Misteri Deret Teleskopik

Mulai dari Langkah Kecil

Pernahkah kamu melihat deret pecahan yang panjang banget dan merasa pusing duluan? Daripada langsung memikirkan 99 suku, mari kita lihat apa yang sebenarnya terjadi jika kita hanya menjumlahkan dua suku pertama: $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3}$.

Kunci untuk menyelesaikan deret yang "terlihat rumit" ini adalah memecah setiap pecahan menjadi bentuk pengurangannya. Ini disebut teknik dekomposisi pecahan parsial.

Coba kita pecah suku pertama dan kedua:

$\frac{1}{1 \times 2}$ bisa diubah menjadi $\frac{1}{1} - \frac{1}{2}$
$\frac{1}{2 \times 3}$ bisa diubah menjadi $\frac{1}{2} - \frac{1}{3}$

Jika kita jumlahkan keduanya: $(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3})$

Ternyata, kita bisa melepas tanda kurungnya. Begitu dilepas, coba perhatikan baik-baik: ada angka kembar dengan tanda yang berlawanan, yaitu $-\frac{1}{2}$ dan $+\frac{1}{2}$.

Jika kita lanjutkan untuk 3 suku pertama, pola yang sama akan muncul. Angka kembar ini akan saling meniadakan menjadi nol. Mengurai pecahan seperti ini jauh lebih mudah daripada harus menyamakan penyebut yang semakin membesar!

Berdasarkan pola yang kita temukan, bagaimana suku ke-3 yaitu $\frac{1}{3 \times 4}$ seharusnya dipecah?

A. Diubah menjadi penjumlahan pecahan: 1/3 + 1/4
B. Dipecah menjadi selisih pecahan: 1/3 - 1/4
C. Dikalikan penyebutnya: 1/12
D. Digabung dengan suku sebelumnya

Jawaban: B. Dipecah menjadi selisih pecahan: 1/3 - 1/4

Pecahan 1/(3x4) dapat dipecah menjadi 1/3 - 1/4, yang jika dihitung akan menghasilkan 1/12. Ini memungkinkan terjadinya pencoretan dengan suku tetangganya.

Dekomposisi pecahan untuk menemukan pola bilangan kembar berlawanan tanda.

Efek Domino yang Menetralkan

Pola pencoretan yang barusan kita temukan bukanlah kebetulan. Ini adalah fenomena matematika yang sangat terkenal, disebut dengan Deret Teleskopik.

Bayangkan deretan domino yang disusun berdiri secara berdekatan. Ketika kamu menjatuhkan domino pertama, ia akan menjatuhkan yang kedua, kedua menjatuhkan ketiga, dan seterusnya. Dalam deret kita, efek domino ini terjadi ketika suku tengah saling "meniadakan" satu sama lain karena setiap suku memiliki "kembaran" yang berlawanan tanda di suku sebelahnya.

Suku di tengah itu tidak hilang begitu saja atau menjadi gaib, mereka dijumlahkan dan hasilnya mutlak nol. Dinamakan teleskopik karena bentuknya mirip teleskop bajak laut model lama: tabung panjang yang bisa ditekan dan dilipat menjadi sangat pendek.

Aturannya sangat kaku dan konsisten: selama polanya terus bersambung tanpa putus, semua suku yang di tengah pasti habis berpasangan.

Dari penjelasan tentang sifat Deret Teleskopik, mana pernyataan yang tepat mengenai apa yang terjadi di bagian tengah deret? (Pilih semua yang benar)

Suku di tengah tidak dihitung karena nilainya tidak penting.
Semua pecahan di bagian tengah akan dijumlahkan menjadi nol secara berpasangan.
Deret teleskopik mengubah penjumlahan panjang menjadi selisih dua ujung pecahan saja.

Jawaban: Suku di tengah tidak dihitung karena nilainya tidak penting.; Deret teleskopik mengubah penjumlahan panjang menjadi selisih dua ujung pecahan saja.

Suku tengah pada deret teleskopik jumlahnya nol karena saling berpasangan (berlawanan tanda). Yang tersisa pasti pecahan bagian ujung awal dan ujung akhir deret.

Pemahaman bahwa suku tengah bernilai nol karena saling meniadakan, menyisakan ujung-ujung.

Menaklukkan Suku ke-99

Sekarang, mari kita bawa senjata teleskopik ini untuk melawan soal asli yang berisi hingga 99 suku. Kita tidak perlu gila menuliskan seluruh 99 pecahan tersebut. Kita bisa menggunakan bantuan elipsis (tanda titik-titik) untuk melambangkan bagian tengah deret.

Mari tulis ulang deret asli: $(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + ... + (\frac{1}{99} - \frac{1}{100})$

Sesuai aturan teleskopik, kita identifikasi "siapa yang bertahan":

Bagian ujung kiri menyisakan $\frac{1}{1}$.
Bagian ujung kanan (suku ke-99) adalah $(\frac{1}{99} - \frac{1}{100})$. Bagian positifnya, yaitu $+\frac{1}{99}$, pasti sudah dicoret oleh bagian ujung dari suku ke-98 sebelumnya.

Maka, yang tersisa utuh tanpa pasangan hanyalah $-\frac{1}{100}$. Inilah rahasianya: berapapun panjang deretnya—bahkan sampai sejuta suku—kita cukup fokus pada dua aktor utama di ujung.

Sekarang kita tinggal menghitung sisa pertempurannya: $S = 1 - \frac{1}{100}$ $S = \frac{100}{100} - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$

Tentukan benar atau salah pernyataan mengenai batas ujung suku deret teleskopik ini.

Jika soal diubah berbatas hingga suku ke-49, maka yang tersisa di paling ujung adalah -1/50. — Benar
Angka 99 pada 99/100 muncul dari penambahan semua pembilang pecahan aslinya. — Salah

Pada suku ke-(n), bagian paling ujung adalah -1/(n+1). Jadi untuk suku ke-49, ujungnya adalah -1/50, yang diselesaikan menjadi 1 - 1/50.

Fokus hanya pada suku ujung di kiri dan batas ujung di kanan.