Membedah Anatomi Grafik Fungsi Kuadrat
Menggambar dari Titik Puncak
Titik puncak dan arah bukaan sudah cukup untuk membayangkan posisi kurva secara keseluruhan. Bayangkan kita sedang mendirikan tenda: arah atap tenda ditentukan oleh koefisien depan, tiang tengah tenda adalah sumbu simetri, dan ujung tertingginya adalah titik puncak.
Pada fungsi $f(x) = kx^2 + 2kx + (k-1)$, koefisien $a = k$. Karena diketahui syarat $k < -1$, nilai $a$ pasti negatif ($a < 0$). Tenda dengan koefisien negatif memiliki atap yang melengkung ke bawah (terbuka ke bawah), sehingga Opsi A benar.
Sekarang, mari kita cari di mana ujung tenda berada. Titik puncak dicapai saat $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2k}{2k} = -1$. Jika kita masukkan $x = -1$ ke fungsi:
$$f(-1) = k(-1)^2 + 2k(-1) + (k-1) = k - 2k + k - 1 = -1$$
Koordinat titik puncaknya berada tepat di $(-1, -1)$, yang membuktikan Opsi D benar. Karena tiang tengah tenda harus membelah tepat di titik puncak ini secara vertikal, persamaan garisnya tentu mengikuti nilai $x$ dari puncak, yaitu garis $x = -1$. Jadi, Opsi C benar tanpa perlu menghafal rumus terpisah.
Diketahui sebuah parabola memiliki titik puncak di koordinat $(3, 5)$ dan kurvanya terbuka ke atas. Manakah persamaan sumbu simetri parabola tersebut?
- Garis vertikal x = 3
- Garis vertikal x = 5
- Garis horizontal y = 5
- Garis horizontal y = 3
Jawaban: Garis vertikal x = 3
Sumbu simetri adalah garis vertikal yang membagi parabola menjadi dua bagian simetris dan selalu melewati titik puncak (x_p, y_p). Karena berbentuk garis vertikal tegak, persamaannya adalah x = x_p, sehingga persamaannya adalah x = 3. Opsi B salah mengambil nilai y sebagai x. Opsi C dan D keliru karena merupakan persamaan garis horizontal (y = konstan), bukan garis vertikal.
Sumbu simetri sebuah parabola selalu sejajar dengan sumbu-y dan melalui koordinat-x dari titik puncaknya.
Membuktikan Visual dengan Diskriminan
Diskriminan ($D$) adalah alat ukur matematis yang memastikan apakah suatu grafik menyentuh sumbu-$x$ atau tidak. Pada analogi tenda kita, sumbu-$x$ diibaratkan sebagai permukaan tanah datar. Nilai $D$ bertindak sebagai detektor kontak: apakah ujung atap atau kaki tenda menembus tanah di dua titik, tepat menyentuh tanah di satu titik, atau melayang tanpa menyentuh tanah sama sekali.
Mari kita buktikan temuan visual di halaman sebelumnya secara aljabar menggunakan rumus $D = b^2 - 4ac$. Dari fungsi $f(x) = kx^2 + 2kx + (k-1)$, kita peroleh koefisien $a = k$, $b = 2k$, dan $c = k - 1$:
$$D = (2k)^2 - 4(k)(k - 1) = 4k^2 - 4k^2 + 4k = 4k$$
Karena pada soal disyaratkan $k < -1$, maka hasil kali $4k$ pasti bernilai lebih kecil dari $-4$ ($D < -4$). Karena nilai diskriminannya bertanda negatif ($D < 0$), parabola tersebut tidak memiliki akar real. Artinya, grafik sama sekali tidak memotong maupun menyinggung sumbu-$x$. Bukti aljabar ini menegaskan kembali mengapa Opsi B salah.
Perhatikan sebuah fungsi kuadrat yang kurvanya terbuka ke atas. Tentukan apakah pernyataan berikut Benar atau Salah!
- Jika kita mendapati nilai D = -8, grafik pasti memotong sumbu-x karena grafik terbuka ke atas. — Salah
- Jika D < 0 dan grafik terbuka ke atas, seluruh bagian kurva pasti berada di atas sumbu-x. — Benar
Pernyataan pertama SALAH karena nilai diskriminan negatif (D < 0) memastikan bahwa kurva sama sekali tidak memiliki titik potong dengan sumbu-x, terlepas dari apakah parabola membuka ke atas atau ke bawah. Pernyataan kedua BENAR karena jika D < 0 dan arah bukaannya ke atas (a > 0), titik minimumnya harus berada di atas sumbu-x agar kurva tidak pernah menyentuh garis sumbu-x.
Nilai diskriminan negatif (D < 0) mengartikan grafik parabola tidak memotong sumbu-x sama sekali.
Cek Ujung: Potong Sumbu-y
Nilai konstanta $c$ pada fungsi kuadrat menentukan di titik mana kurva memotong sumbu-$y$ tegak. Jika tiang tengah dan atap tenda sudah terpasang, kita bisa melihat di ketinggian berapa kurva menembus sumbu tegak Cartesius ini.
Titik potong terhadap sumbu-$y$ selalu terjadi ketika nilai $x = 0$. Saat nilai $x = 0$ disubstitusikan ke dalam fungsi $f(x) = kx^2 + 2kx + (k-1)$, kedua suku pertama bernilai nol sehingga hanya menyisakan suku konstanta $c$:
$$f(0) = k(0)^2 + 2k(0) + (k-1) = k - 1$$
Dari premis soal, kita mengetahui batas nilai parameternya adalah $k < -1$. Kita dapat memeriksa tanda konstanta $c$ dengan mengurangkan angka $1$ pada kedua ruas pertidaksamaan:
$$k < -1 \implies k - 1 < -1 - 1 \implies c < -2$$
Karena nilai $c < -2$, titik potong grafik terhadap sumbu-$y$ berada di bawah angka $-2$ (pada area negatif). Oleh karena itu, grafik memotong sumbu-$y$ negatif, yang memastikan bahwa Opsi E salah.
Diberikan grafik fungsi kuadrat $f(x) = px^2 + qx + r$ memotong sumbu-y tepat pada titik asal $(0, 0)$. Manakah kesimpulan yang pasti benar mengenai parameter tersebut?
- Nilai konstanta r = 0
- Nilai koefisien utama p = 0
- Nilai koefisien linear q = 0
- Nilai konstanta r > 0
Jawaban: Nilai konstanta r = 0
Titik potong grafik dengan sumbu-y terjadi saat x = 0, yaitu f(0) = p(0)^2 + q(0) + r = r. Agar grafik memotong tepat di titik asal (0, 0), nilai f(0) harus sama dengan 0, sehingga r = 0. Opsi B salah karena p = 0 membuat persamaan menjadi linear, bukan kuadrat. Opsi C salah karena q tidak menentukan titik potong sumbu-y. Opsi D salah karena r > 0 membuat titik potong berada di sumbu-y positif.
Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-y sesuai dengan tanda konstanta c dari persamaan f(x) = ax^2 + bx + c.