Peluang Bersyarat: Di Balik Aturan Kalikan dan Kurangi
Realita Pengurangan Ruang Sampel
Penyebut berkurang bukan karena sekadar rumus 'pengambilan kedua', melainkan karena secara fisik ada satu objek yang sudah keluar dari kelompok pilihan.
Pada pemilihan awal untuk posisi ketua, setiap siswa memiliki kesempatan yang sama. Karena ada $8$ siswa perempuan dari total $20$ siswa, peluang terpilihnya ketua perempuan murni bernilai:
$$P(\text{Ketua perempuan}) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$$
Bayangkan analogi Kursi Kosong Bertahap. Di depan kelas terdapat dua kursi kosong: kursi Ketua dan kursi Wakil. Ketika seorang siswi perempuan terpilih dan duduk di kursi ketua, ia secara fisik telah meninggalkan kelompok siswa yang tersisa. Siswi tersebut tidak lagi berada di kerumunan yang bisa dipilih.
Akibatnya, ruang sampel (total kemungkinan siswa yang tersisa) menyusut menjadi $20 - 1 = 19$ orang, yang terdiri dari $12$ siswa laki-laki dan $7$ siswa perempuan. Karena seluruh $12$ siswa laki-laki masih ada di kerumunan, peluang terpilihnya wakil laki-laki dari kelompok yang baru ini adalah:
$$P(\text{Wakil laki-laki} \mid \text{Ketua perempuan}) = \frac{12}{19}$$
Kondisi ini dinamakan kejadian tanpa pengembalian, di mana kejadian pertama langsung mengubah peluang kejadian berikutnya (peluang bersyarat). Jika kita tidak mengubah penyebut dan tetap membaginya dengan $20$ orang (seperti pada perhitungan $\frac{8}{20} \times \frac{12}{20} = \frac{6}{25}$ di Opsi C), kita secara tidak sadar menganggap siswa yang sudah jadi ketua boleh kembali dipilih menjadi wakil kelas.
Dalam sebuah kotak terdapat 5 kelereng merah dan 3 kelereng biru. Satu kelereng biru diambil dan tidak dikembalikan. Berapakah total kelereng yang tersisa di dalam kotak untuk pengambilan kedua?
- 8 kelereng
- 7 kelereng
- 4 kelereng
- 9 kelereng
Jawaban: 7 kelereng
Kotak awalnya berisi $5 + 3 = 8$ kelereng. Karena $1$ kelereng biru telah diambil dan tidak dikembalikan, maka kelereng fisik di dalam kotak tersisa $8 - 1 = 7$ kelereng. Opsi A salah karena menganggap jumlah kelereng tetap (dengan pengembalian), opsi C salah karena keliru mengurangi kelereng merah, dan opsi D salah karena justru menambah jumlah kelereng.
Memahami perubahan ruang sampel (penyebut) setelah satu kejadian terjadi tanpa pengembalian.
Kenapa Harus Dikalikan?
Peluang dikalikan ketika kita menyusuri cabang kemungkinan yang berurutan dalam satu alur skenario, bukan semata karena ada kata 'dan'.
Mengandalkan hafalan teks seperti "kalau dan berarti dikali" sering kali berisiko saat kalimat soal dimodifikasi. Cara berpikir yang lebih kokoh adalah melihat urutan kejadian ini sebagai sebuah persimpangan pada diagram pohon.
Pemilihan ketua adalah persimpangan pertama:
Terpilih Ketua Laki-laki ($\frac{12}{20}$).
Terpilih Ketua Perempuan ($\frac{8}{20} = \frac{2}{5}$).
Karena skenario soal secara spesifik menuntut ketua perempuan, kita harus melangkah ke cabang Ketua Perempuan (2/5). Dari titik ini, kita menghadapi persimpangan kedua untuk memilih wakil dari $19$ siswa yang tersisa:
Wakil Laki-laki ($\frac{12}{19}$).
Wakil Perempuan ($\frac{7}{19}$).
Untuk mencapai hasil akhir yang diinginkan (Ketua Perempuan berlanjut ke Wakil Laki-laki), kita berjalan menyusuri satu jalur ranting pohon yang berurutan dari pangkal ke ujung. Aturan probabilitas menetapkan bahwa setiap peluang di sepanjang satu ranting berurutan harus dikalikan:
$$P(\text{Ketua P dan Wakil L}) = \frac{2}{5} \times \frac{12}{19} = \frac{24}{95}$$
Hasil inilah yang menjadikan Opsi E sebagai jawaban yang benar. Kesalahan dalam membagi dua hasil akhir karena mengira urutan tidak diperhatikan atau salah membagi jumlah siswa laki-laki menghasilkan $\frac{12}{95}$ (Opsi A). Kesalahan lain seperti hanya mengambil pembilang peluang pertama lalu membaginya dengan total sisa siswa memunculkan $\frac{2}{19}$ (Opsi D). Sementara itu, nilai $\frac{7}{90}$ (Opsi B) tidak merepresentasikan peluang bersyarat yang tepat dari skenario ini.
Dalam sebuah permainan rintangan, kamu harus melewati dua gerbang berurutan. Peluang gerbang pertama terbuka adalah 1/2. Jika gerbang pertama terbuka, peluang gerbang kedua terbuka adalah 1/3. Tentukan apakah pernyataan berikut Benar atau Salah!
- Peluang kamu berhasil melewati kedua gerbang secara berurutan dihitung dengan menjumlahkan 1/2 dan 1/3. — Salah
- Kejadian pada gerbang kedua bergantung (bersyarat) pada kejadian di gerbang pertama. — Benar
Pernyataan 1 Salah karena peluang melewati dua tahap kejadian berurutan dalam satu skenario harus dikalikan ($1/2 \times 1/3 = 1/6$), bukan dijumlahkan. Pernyataan 2 Benar karena gerbang kedua hanya bisa dilalui jika gerbang pertama berhasil dibuka terlebih dahulu, yang merupakan karakteristik utama peluang bersyarat.
Memahami logika perkalian peluang pada kejadian bersyarat berurutan lewat visual pohon.
Rangkuman & Lanjut Belajar
Berikut adalah poin-poin kunci yang mendasari penyelesaian peluang kejadian bersyarat bertingkat:
Pengurangan Ruang Sampel: Pada pengambilan tanpa pengembalian, penyebut menyusut bukan sekadar trik pengurangan angka, melainkan cerminan fisik dari berkurangnya jumlah objek yang tersedia di kelompok asal setelah tahap pertama selesai.
Peluang Bersyarat Berurutan: Peluang tahap kedua dihitung berdasarkan komposisi sisa anggota setelah kondisi tahap pertama terpenuhi ($P(B \mid A)$).
Aturan Perkalian Cabang: Mengalikan peluang dilakukan saat kita menelusuri satu rangkaian jalur skenario yang berurutan dari pangkal hingga ujung ranting pada diagram pohon, bukan sekadar melihat kata hubung teks.
Lanjut Belajar
Agar pemahaman peluangmu semakin luas dan siap menghadapi tipe soal yang lebih kompleks, kamu bisa melanjutkan ke topik-topik berikut:
Peluang Kejadian Saling Lepas vs Tidak Saling Lepas: Mempelajari kapan peluang harus dijumlahkan ketika ada beberapa jalur skenario yang sama-sama memenuhi target soal.
Kombinasi pada Pengambilan Sekaligus: Memahami cara menghitung peluang ketika sejumlah objek diambil bersamaan tanpa memperhatikan urutan maupun posisi jabatan.
Peluang Komplemen ("Paling Sedikit Satu"): Menggunakan trik $1 - P(\text{tidak ada})$ untuk mempermudah perhitungan skenario majemuk yang memiliki banyak cabang keberhasilan.