Bongkar Rahasia Bilangan Rasional
Apa Itu 'Rasional'?
Pernah bertanya-tanya dari mana asal kata rasional dalam matematika? Kata ini sebenarnya diturunkan dari kata rasio (atau ratio dalam bahasa Inggris) yang artinya perbandingan atau pecahan.
Inti dari bilangan rasional sangat sederhana: sebuah bilangan disebut rasional jika ia BISA ditulis sebagai pecahan $\frac{a}{b}$, di mana $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat, dan $b$ tidak boleh nol (karena kita gak bisa membagi dengan nol, kan?).
Coba bayangkan bilangan sebagai sebuah objek yang bisa "dibedah":
Bilangan bulat seperti $5$ atau $-10$ adalah rasional karena bisa diubah jadi pecahan per-1. Contohnya $5 = \frac{5}{1}$.
Pecahan biasa seperti $\frac{2}{1}$ atau $\frac{3}{7}$ sudah pasti rasional.
Desimal yang berhenti seperti $0,5$ juga rasional, karena bisa diubah menjadi pecahan per-10 atau kelipatannya. Contohnya $0,5 = \frac{5}{10}$.
Desimal berulang teratur seperti $0,3333...$ juga rasional, karena sebenarnya itu adalah $\frac{1}{3}$.
Manakah di antara bilangan berikut yang BUKAN merupakan bilangan rasional?
- A. -99
- B. 0,141414...
- C. 1,2345678
- D. Bilangan desimal yang tak berujung dan tak berpola
Jawaban: D. Bilangan desimal yang tak berujung dan tak berpola
Bilangan bulat (-99), desimal berulang (0,1414...), dan desimal berhenti (1,2345678) semuanya bisa diubah ke bentuk pecahan a/b. Desimal tak berujung & tak berpola tidak bisa, sehingga ia bukan bilangan rasional.
Bilangan rasional harus bisa diubah ke pecahan bulat, yang mencakup bilangan bulat, desimal berhenti, dan desimal berulang.
Panjang Bukan Berarti Irasional
Sekarang, mari kita bedah opsi nomor 1 pada soalmu: $2,7182818285$.
Kamu minta dijelaskan langkah demi langkah penyelesaiannya, jadi yuk kita lihat kenapa bilangan yang kelihatannya panjang banget ini masih masuk kategori rasional!
Bentuk pecahannya jadi begini: $2,7182818285 = \frac{27182818285}{10000000000}$
Nah, lihat bagian atas (pembilang) dan bawah (penyebut). Keduanya adalah bilangan bulat yang sangat besar. Karena sudah sukses ditulis dalam wujud perbandingan dua bilangan bulat $\frac{a}{b}$, terbukti bahwa bilangan sepanjang apa pun—selama ia memiliki titik henti—adalah bilangan rasional.
Jangan sampai terkecoh karena angkanya mirip nilai $e$ (konstanta Euler). Karena di soal desimalnya diputus (berhenti di 5), dia sah menjadi pecahan rasional!
Bilangan $0,0000000000000000000000000000001$ memiliki 31 angka di belakang koma. Tentukan kebenaran dari pernyataan berikut!
- Bilangan tersebut adalah bilangan rasional karena bisa diubah menjadi pecahan bilangan bulat. — Benar
- Bilangan tersebut irasional karena terlalu banyak angka di belakang koma. — Salah
Selama angka di belakang koma berhenti (punya batas akhir), bilangan tersebut BISA diubah menjadi bentuk pecahan per-10 pangkat sekian. Jadi, sepanjang apapun angkanya, kalau berhenti, ia pasti rasional!
Bilangan desimal yang berhenti, tidak peduli sepanjang apa pun, selalu dapat diubah ke pecahan dan merupakan bilangan rasional.
Si Pemberontak: Irasional
Waktu ngerjain soal, mungkin kamu sempat bingung dan cuma menebak saat melihat bilangan seperti $\pi$ (pada opsi $\frac{3}{2}\pi$) atau bentuk akar seperti $\sqrt{3}$. Kenapa sih mereka disebut irasional?
Kebalikan dari rasional, bilangan irasional adalah "pemberontak" yang tidak bisa dan tidak akan pernah bisa ditulis jadi bentuk pecahan bilangan bulat $\frac{a}{b}$.
Ciri utamanya: desimalnya terus berlanjut tanpa henti dan TANPA pola yang berulang.
Ambil contoh $\pi$. Banyak yang mengira $\pi$ itu tepat $\frac{22}{7}$. Padahal, itu cuma angka pendekatan agar mudah dihitung! Nilai $\pi$ yang sebenarnya adalah $3,1415926535...$ dan angkanya acak selamanya. Nggak akan ada pecahan bilangan bulat yang 100% akurat sama dengan $\pi$.
Hal yang sama berlaku untuk akar yang hasilnya nggak pas atau bukan kuadrat sempurna, seperti $\sqrt{3}$ (sekitar $1,73205...$).
Jadi, angka irasional ini liar dan tidak bisa "dirasiokan" jadi pecahan bulat yang rapi. Karena $\pi$ itu irasional, dikali angka rasional apa pun (selain 0, termasuk dikali $\frac{3}{2}$ seperti pada opsi 2), hasilnya akan tetap irasional.
Berdasarkan penjelasan tadi, kenapa $\sqrt{2}$ tergolong irasional?
- A. Karena 2 adalah angka genap.
- B. Karena jika dihitung, desimalnya berulang terus seperti 0,333...
- C. Karena desimalnya tak terbatas dan angkanya acak tanpa pola.
- D. Karena hasilnya lebih besar dari 1.
Jawaban: C. Karena desimalnya tak terbatas dan angkanya acak tanpa pola.
Akar kuadrat yang hasilnya tidak bulat sempurna (seperti akar 2 atau akar 3) memiliki desimal yang tidak pernah berhenti dan tidak membentuk blok pola yang berulang, menjadikannya bilangan irasional.
Bilangan irasional memiliki desimal yang tak terbatas dan tidak berpola, sehingga tidak dapat ditulis dalam rasio a/b yang tepat.