Deret Aritmetika: Membedah Suku vs Jumlah

"Satu Tahun" vs "Sampai Tahun Ini"

Banyak yang terjebak membedakan antara "biaya tahun ke-3" dan "jumlah biaya selama 3 tahun". Padahal, ini adalah dua hal yang sangat berbeda dalam barisan aritmetika.

Secara konsep, suku ke-n ($U_n$) itu ibarat foto yang diambil tepat pada satu waktu tertentu. Misalnya, "Biaya tahun ke-3 adalah 18 juta" merujuk pada $U_3$. Artinya, hanya di tahun ke-3 itu saja keluar uang 18 juta.

Sebaliknya, jumlah n suku pertama ($S_n$) adalah video rekaman dari awal sampai akhir. "Jumlah biaya selama 3 tahun" artinya kita menggabungkan pengeluaran tahun 1, ditambah tahun 2, ditambah tahun 3 ($U_1 + U_2 + U_3$). Ini adalah $S_3$.

Di soal kita, yang ditanya adalah "jumlah biaya selama lima tahun pertama". Artinya, kita sedang berburu nilai $S_5$, bukan sekadar mencari biaya di tahun ke-5 ($U_5$).

Menghitung Jarak Lompatan

Dalam deret aritmetika, setiap tahun biaya naik dengan jumlah yang selalu sama. Kenaikan tetap ini disebut beda ($b$). Tapi gimana cara carinya kalau kita cuma tahu biaya tahun ke-2 ($U_2 = 15$ juta) dan tahun ke-4 ($U_4 = 21$ juta)?

Bayangkan barisan angka sebagai batu loncatan. Dari batu ke-2 ($U_2$) menuju batu ke-4 ($U_4$), kamu harus melompat berapa kali? Dari posisi 2 ke 3 itu 1 lompatan, lalu dari 3 ke 4 itu 1 lompatan lagi. Totalnya ada 2 lompatan.

Secara nilai, dari 15 juta menjadi 21 juta, ada selisih sebesar 6 juta. Jika 2 lompatan bernilai 6 juta, maka secara logika, 1 lompatan ($b$) bernilai 6 juta dibagi 2, yaitu 3 juta.

Mundur ke Titik Awal

Sekarang kita sudah pegang kunci utamanya: setiap tahun biayanya naik 3 juta ($b = 3.000.000$). Tapi untuk bisa menghitung total biaya dari awal, kita butuh tahu dulu biaya di tahun pertama atau suku pertama ($a$).

Menemukan suku pertama itu gak butuh aljabar yang rumit, kok! Kita cukup "berjalan mundur" di atas garis bilangan.

Kita tahu biaya tahun ke-2 ($U_2$) adalah 15 juta. Karena nilai selalu bertambah 3 juta setiap maju satu langkah, maka kalau kita mundur satu langkah (ke tahun pertama), nilainya harus dikurang 3 juta. Jadi, $U_1$ (atau $a$) adalah 15 juta dikurang 3 juta = 12 juta.