Teorema Sisa: Pola di Balik Sisa Pembagian
Logika Sisa Pembagian
Sisa pembagian adalah bagian yang tidak cukup untuk membentuk satu kelompok utuh sesuai ukuran pembagi. Konsep ini sebetulnya sama persis dengan pembagian angka biasa yang sudah kita kenal sejak sekolah dasar.
Bayangkan kamu memiliki $23$ kelereng dan ingin memasukkannya ke dalam kotak-kotak berkapasitas $5$ kelereng per kotak.
Hasilnya, kamu mendapatkan $4$ kotak penuh ($20$ kelereng) dan tersisa $3$ butir kelereng yang berserakan di luar kotak. Angka $3$ ini disebut sisa karena jumlahnya kurang dari ukuran satu kotak utuh ($5$). Mungkinkah sisanya berjumlah $5$ atau lebih? Tentu tidak, karena jika ada $5$ kelereng lagi, kelereng tersebut pasti dimasukkan ke kotak berikutnya menjadi kotak ke-$5$.
Pada polinomial, ukuran "kapasitas kotak" diukur dari derajat (pangkat tertinggi) dari pembagi. Derajat sisa selalu lebih kecil daripada derajat pembaginya:
Jika pembagi berderajat $1$ (misalnya berukuran $x-c$), maka sisanya tidak lagi memuat variabel $x$, melainkan berupa konstanta (derajat $0$).
Jika pembaginya berderajat $2$ (seperti bentuk kuadrat $x^2-3x+2$), sisanya pasti tidak muat satu kotak penuh berderajat dua. Artinya, sisa pembagian maksimal berderajat $1$, yaitu berbentuk fungsi linear $ax+b$.
Teorema Sisa Lewat Kotak
Nilai sisa pembagian polinomial oleh $(x-c)$ sama dengan nilai polinomial itu sendiri ketika $x$ diganti dengan $c$. Hubungan langsung ini bisa kita pahami dari bentuk dasar pembagian aljabar:
$$P(x) = \text{Pembagi} \times H(x) + S(x)$$
Gunakan analogi kotak tadi: jika ukuran kotak pembaginya kita buat bernilai nol, maka bagian kotak penuh $(\text{Pembagi} \times H(x))$ otomatis lenyap menjadi $0$. Apa yang tertinggal di tangan kita? Hanyalah kelereng sisanya!
Untuk pembagi berbentuk $(x-2)$, kita bisa membuat ukuran kotak menjadi nol dengan memilih $x=2$:
$$P(2) = (2-2) \times H(2) + \text{Sisa}$$
$$P(2) = 0 + \text{Sisa} = \text{Sisa}$$
Jadi, saat soal menyebut "Polinomial $P(x)$ dibagi $(x-2)$ bersisa $7$", kalimat panjang tersebut sebenarnya hanyalah kode aljabar sederhana untuk menyatakan bahwa nilai $P(2) = 7$.
Sebuah suku banyak Q(x) jika dibagi oleh (x - 5) memiliki sisa 12. Berdasarkan prinsip sisa pembagian, manakah pernyataan yang pasti benar?
- Q(5) = 12
- Q(-5) = 12
- Q(12) = 5
- Q(x) = 12x - 5
Jawaban: Q(5) = 12
Berdasarkan Teorema Sisa, pembagian polinomial Q(x) oleh (x - 5) menyisakan nilai fungsi ketika pembaginya dibuat nol, yaitu saat x = 5. Oleh karena itu, Q(5) = 12. Opsi B salah mengambil tanda pembuat nol, Opsi C membalik posisi input dan sisa, sedangkan Opsi D keliru menganggap sisa sebagai rumus fungsi.
Sisa pembagian oleh (x-c) adalah nilai fungsi saat x=c.
Mencari Petunjuk Sisa
Pembagi yang berbentuk kuadrat bisa difaktorkan untuk menemukan nilai $x$ yang membuka rahasia sisanya. Pada soal kita, polinomial $P(x)$ dibagi oleh dua bentuk kuadrat yang berbeda sebelum ditanyakan sisa akhirnya.
Mari bedah petunjuk pertama: $P(x)$ dibagi oleh $(x^2-1)$ bersisa $(2x+3)$. Bentuk $x^2-1$ dapat difaktorkan menjadi $(x-1)(x+1)$, sehingga persamaannya adalah:
$$P(x) = (x-1)(x+1) \cdot H_1(x) + (2x+3)$$
Jika kita memasukkan $x=1$, bagian pembagi $(1-1)$ menjadi nol dan melenyapkan hasil bagi $H_1(x)$:
$$P(1) = 0 \cdot H_1(1) + (2(1)+3) = 5$$
Kita mendapatkan petunjuk emas pertama: $P(1) = 5$.
Sekarang periksa petunjuk kedua: $P(x)$ dibagi oleh $(x^2-4)$ bersisa $(x+5)$. Faktorkan $x^2-4$ menjadi $(x-2)(x+2)$:
$$P(x) = (x-2)(x+2) \cdot H_2(x) + (x+5)$$
Dengan memilih $x=2$, bagian $(2-2)$ menjadi nol:
$$P(2) = 0 \cdot H_2(2) + (2+5) = 7$$
Kita mendapatkan petunjuk emas kedua: $P(2) = 7$. Kita tidak perlu menghitung $P(-1)$ atau $P(-2)$ karena target pembagi yang ditanyakan soal nanti hanya memerlukan pembuat nol di $x=1$ dan $x=2$.