Bongkar Pasang Akar dan Pecahan
Satu Bahasa Pecahan
Semua angka desimal, pecahan campuran, dan persen bisa diubah menjadi pecahan biasa agar mudah dikalikan.
Saat melihat campuran angka seperti desimal $0{,}8$, pecahan campuran $2\frac{1}{2}$, dan persen $75\%$, menghitungnya langsung tanpa menyamakan bentuk sering kali memicu kekeliruan hitung. Bayangkan sepotong kue utuh: kita bisa menyebut bagian yang sama sebagai $80\%$, $0{,}8$, atau $\frac{4}{5}$. Nilai aslinya tidak berubah, hanya cara menuliskan potongan kotaknya yang berbeda.
Simulasi di atas membuktikan bahwa luas kotak yang diambil selalu sama. Oleh karena itu, langkah terbaik adalah menerjemahkan semuanya ke dalam satu bahasa: pecahan biasa.
Desimal: $0{,}8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$
Pecahan campuran: $2\frac{1}{2} = \frac{2 \times 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$
Persen: $75\% = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$
Membongkar Akar Besar
Bentuk akar yang angkanya besar dapat disederhanakan dengan memecahnya menjadi perkalian angka kuadrat sempurna.
Bentuk seperti $\sqrt{20}$ atau $\sqrt{45}$ ibarat kardus besar tertutup. Kita tidak bisa langsung menjumlahkannya dengan $\sqrt{5}$ sebelum melihat isi di dalamnya. Berdasarkan sifat perkalian akar $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$, kita dapat mencari faktor pengali yang merupakan bilangan kuadrat ($4, 9, 16, 25, \dots$).
Pada diagram di atas, angka $20$ dipecah menjadi $4 \times 5$. Karena $\sqrt{4} = 2$, maka akar tersebut keluar menjadi bilangan bulat:
$$\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = \sqrt{4} \times \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$$
Kardus besar $\sqrt{20}$ ternyata berisi $2$ kotak yang masing-masing bertempel stiker $\sqrt{5}$. Pola yang sama berlaku untuk $\sqrt{45}$:
$$\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = \sqrt{9} \times \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$$
Bagaimana bentuk paling sederhana dari $\sqrt{50}$?
- $5\sqrt{2}$
- $2\sqrt{5}$
- $10\sqrt{5}$
- $25\sqrt{2}$
Jawaban: $5\sqrt{2}$
Bentuk $\sqrt{50}$ dipecah menjadi perkalian bilangan kuadrat sempurna dan faktor sisanya: $\sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$. Pilihan B tertukar dengan $\sqrt{20}$, pilihan C membagi 50 dengan 5 tanpa menarik akar dengan benar, dan pilihan D lupa menarik akar dari 25.
Bentuk akar disederhanakan dengan memecah angkanya menjadi perkalian bilangan kuadrat.
Menjumlahkan Kotak yang Sama
Bentuk akar hanya bisa dijumlahkan atau dikurangkan jika angka di dalam akarnya sama persis.
Setelah semua suku di soal disederhanakan, perhatikan hasil koefisien di depan akarnya:
Suku pertama: $\left(0{,}8 \times 2\frac{1}{2}\right)\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$
Suku kedua: $\left(75\% \div \frac{1}{4}\right)\sqrt{20} = \left(\frac{3}{4} \times 4\right)(2\sqrt{5}) = 3 \times 2\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$
Suku ketiga: $\left(4 \times 1\frac{1}{2}\right)\sqrt{45} = \left(4 \times \frac{3}{2}\right)(3\sqrt{5}) = 6 \times 3\sqrt{5} = 18\sqrt{5}$
Suku keempat: $-10\sqrt{5}$
Ibarat kotak kardus yang semuanya memiliki stiker bertuliskan $\sqrt{5}$, stiker tersebut tidak ikut dijumlahkan atau dihilangkan. Kita hanya perlu mengoperasikan koefisien di depannya:
$$(2 - 6 + 18 - 10)\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$$
Tentukan apakah tiap pernyataan operasi bentuk akar berikut Benar atau Salah:
- $3\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = 7\sqrt{2}$ — Benar
- $5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 3$ — Salah
- $2\sqrt{5} + 3\sqrt{7} = 5\sqrt{12}$ — Salah
Pernyataan 1 Benar karena bentuk akarnya sama ($\sqrt{2}$), sehingga koefisiennya langsung dijumlahkan $(3+4)\sqrt{2} = 7\sqrt{2}$. Pernyataan 2 Salah karena bentuk akar $\sqrt{3}$ tidak boleh dihilangkan; hasil yang benar adalah $3\sqrt{3}$. Pernyataan 3 Salah karena $\sqrt{5}$ dan $\sqrt{7}$ bukan bentuk akar sejenis, sehingga tidak bisa dijumlahkan langsung menjadi $\sqrt{12}$.
Penjumlahan bentuk akar hanya dilakukan pada koefisien jika bentuk akarnya sama.