Peluang Dinamis: Melacak Sisa Kupon

Membayangkan Kotak Undian

Saat belajar peluang, kadang kita langsung buru-buru menghafal rumus. Padahal, peluang pada dasarnya adalah tentang mengamati apa yang ada di depan mata saat ini.

Peluang itu seperti sebuah foto snapshot. Nilai peluang hanya peduli dengan perbandingan antara jumlah barang yang kita incar dengan total semua barang yang ada di dalam kotak pada detik tersebut.

Mari kita intip isi kotak undian sebelum siapa pun mengambil kupon:

Melihat kotak utuh seperti di atas, menghitung peluang terasa gampang, kan? Masalahnya, di soal, Rina adalah orang keempat. Berarti ruang sampel atau isi kotaknya sudah berubah gara-gara tiga orang sebelumnya.

Di halaman berikutnya, kita akan lihat pelan-pelan bagaimana setiap tarikan memengaruhi total kupon di dalam kotak.

Jika kamu adalah orang pertama yang mengambil undian dari kotak yang masih utuh ini, berapakah peluangmu mendapatkan kupon liburan?

  • A. 5/11
  • B. 5/12
  • C. 4/12
  • D. 4/11

Jawaban: B. 5/12

Targetnya adalah Liburan (5) dan total semua kupon di kotak saat itu masih utuh (12). Maka peluangnya 5/12.

Peluang selalu dihitung dari rasio sisa target terhadap total benda yang ada di saat itu juga.

Efek 'Ambil & Tahan' vs 'Kembalikan'

Dari hasil diagnostik, kamu sempat bingung: "Gimana cara ngitung $n(S)$ (total sampel) kalau bendanya terus berkurang?"

Kuncinya ada di aturan main soal ini. Aturan soal undian biasanya terbagi dua macam efek:

  1. Tanpa Pengembalian (Ambil & Tahan): Kalau yang didapat kupon liburan atau belanja, kupon itu masuk kantong. Akibatnya, total kupon di kotak ($n(S)$) pasti berkurang 1.

  2. Dengan Pengembalian: Kalau dapat kupon kosong, kuponnya wajib dikembalikan ke kotak. Karena masuk lagi, total kupon di kotak ($n(S)$) tetap / tidak berubah.

Coba mainkan simulasi di bawah ini untuk melihat langsung efek setiap tarikan terhadap isi kotak:

Kesimpulannya, untuk orang keempat (Rina), total kupon di kotak hanya akan berkurang gara-gara kupon liburan dan belanja yang sudah terambil sebelumnya.

Berdasarkan simulasi dan aturan pengembalian, manakah pernyataan yang benar mengenai jumlah total kupon (n(S))? (Pilih semua yang benar)

  • Jika orang pertama menarik kupon Belanja, total kupon (penyebut) untuk orang kedua menjadi 11.
  • Jika orang pertama menarik kupon Kosong, total kupon (penyebut) untuk orang kedua menjadi 11.
  • Kupon Kosong sama sekali tidak memengaruhi pengurangan total kupon di kotak.

Jawaban: Jika orang pertama menarik kupon Belanja, total kupon (penyebut) untuk orang kedua menjadi 11.; Kupon Kosong sama sekali tidak memengaruhi pengurangan total kupon di kotak.

Penarikan Liburan dan Belanja akan mengurangi total sisa karena tidak dikembalikan. Penarikan Kosong tidak mengurangi sisa (tetap utuh).

Kupon yang tidak dikembalikan mengurangi total n(S), sedangkan kupon yang dikembalikan membuat n(S) tetap.

Merakit Rumus Peluang Baru

Kita tahu Rina maju setelah tiga orang mengambil undian. Masalahnya, kita tidak tahu pasti apa saja yang sudah mereka ambil!

Supaya gampang, kita ubah kondisi yang tidak pasti ini menjadi simbol aljabar (variabel). Misalkan, dalam 3 tarikan pertama itu:

Dari dua logika di atas, kita bisa bikin rumus peluang khusus untuk tarikan Rina:

Aljabar bukan buat bikin pusing, tapi justru alat bantu super agar kita tidak perlu menebak membabi buta. Setelah punya rumus $P = \frac{5 - L}{12 - L - B}$, kita tinggal mencocokkannya!

Berdasarkan logika perakitan rumus di atas, tentukan Benar atau Salah dari pernyataan berikut:

  • Rumusnya seharusnya (5 - L) / (12 - L - B - K) karena kita harus menghitung kupon kosong yang terambil. — Salah
  • Penyebut (12 - L - B) menandakan total sisa kupon di kotak, tanpa terpengaruh berapa banyak kupon kosong yang sudah ditarik. — Benar

Karena kupon kosong selalu dikembalikan, variabel K tidak perlu dimasukkan dalam penyebut rumus peluang. Total kupon hanya berkurang oleh L dan B.

Variabel K (kosong) tidak dimasukkan sebagai pengurang total karena kupon kosong dikembalikan.