Komposisi Fungsi dari Grafik
Input dan Output Grafik
Dalam grafik fungsi, nilai di sumbu horizontal ($X$) selalu menjadi input dan nilai di sumbu vertikal ($Y$) selalu menjadi output.
Bayangkan sebuah mesin pabrik berantai: sumbu horizontal ($X$) adalah tempat kamu memasukkan bahan baku mentah (input). Mesin fungsi akan mengolah bahan tersebut, lalu melontarkan produk jadinya (output) ke arah sumbu vertikal ($Y$).
Ketika membaca titik pada kurva koordinat kartesius, jangan terburu-buru melihat angka di sumbu vertikal ($Y$). Biasakan selalu memulai pandangan dari sumbu horizontal ($X$) terlebih dahulu:
Tentukan nilai bahan baku di sumbu horizontal ($X$).
Tarik pandangan secara vertikal (tegak) hingga menabrak kurva yang dituju.
Dari titik tabrakan pada kurva, belokkan arah pandangan secara horizontal (mendatar) ke kiri untuk membaca hasil akhirnya di sumbu vertikal ($Y$).
Pada simulasi di atas, coba amati Kurva f yang berwarna biru:
Saat kamu memilih bahan baku awal $x = 1$, garis penunjuk akan bergerak naik menabrak kurva, lalu memantul ke sumbu vertikal dan menunjukkan angka $2$.
Artinya, mesin fungsi $f$ mengubah nilai input $1$ menjadi nilai output $2$, atau ditulis secara matematis sebagai $f(1) = 2$.
Jika fungsi merah g(x) menerima nilai bahan baku di sumbu horizontal sebesar 4, berapakah nilai produk akhir di sumbu vertikal yang dihasilkan oleh mesin g?
- 4
- 1
- 2
- 0
Jawaban: 1
Untuk mencari output g(4), cari angka 4 pada sumbu horizontal (X) sebagai bahan baku (input), lalu lihat posisi kurva merah g(x). Pada x = 4, kurva berada tepat di ketinggian y = 1. Opsi A keliru karena mengira nilai input adalah output, Opsi C keliru membaca fungsi lain, dan Opsi D keliru mengira perpotongan sumbu.
Titik di grafik dibaca dari sumbu X sebagai input menuju sumbu Y sebagai output
Menyambung Output Jadi Input
Hasil output dari fungsi pertama langsung dipindahkan kembali ke sumbu horizontal ($X$) untuk menjadi input bagi fungsi kedua.
Pada operasi komposisi fungsi, prinsipnya persis seperti mesin pabrik berantai. Saat kamu melihat notasi $(g \circ f)(1)$, bentuk ini sama artinya dengan bentuk bersarang $g(f(1))$. Artinya, ada dua mesin yang bekerja secara berurutan: kamu harus menyalakan mesin yang paling dalam terlebih dahulu ($f$), baru kemudian hasilnya dialirkan ke mesin luar ($g$).
Perhatikan bagaimana nilai berpindah secara berantai pada diagram di atas:
Langkah 1: Kita masukkan bahan baku awal $x = 1$ ke kurva biru $f(x)$. Mesin menghasilkan barang setengah jadi di sumbu vertikal, yaitu $y = 2$.
Pindah ke Input: Barang setengah jadi bernilai $2$ ini tidak langsung menjadi jawaban akhir! Nilai $2$ tersebut dipindahkan kembali ke ban berjalan utama di sumbu horizontal ($X$) untuk disiapkan sebagai bahan baku baru.
Langkah 2: Sekarang kita masukkan nilai $x = 2$ tersebut ke mesin berikutnya, yaitu kurva merah $g(x)$. Saat kita telusuri $x = 2$ pada kurva merah, grafiknya berada tepat di ketinggian $y = 2$.
Dengan demikian, nilai dari $(g \circ f)(1) = g(f(1)) = g(2) = 2$.
Menggabungkan Potongan Hasil
Nilai operasi gabungan diselesaikan dengan menghitung tiap suku fungsi secara terpisah sebelum menjumlahkannya.
Saat berhadapan dengan ekspresi panjang seperti $(g \circ f)(1) + (h \circ g)(4) - (f \circ h)(4)$, jangan panik melihat banyaknya simbol. Pecah ekspresi besar ini menjadi tiga potongan mesin yang berdiri sendiri:
Suku pertama: Dari langkah sebelumnya, kita sudah menemukan $(g \circ f)(1) = 2$.
Suku kedua: Melalui alur berantai yang sama, kita peroleh $(h \circ g)(4) = h(g(4)) = h(1) = 4$.
Suku ketiga: Untuk $(f \circ h)(4)$, masukkan input $4$ ke grafik hijau $h(x)$, didapat $h(4) = 1$. Lalu alihkan nilai $1$ ke sumbu horizontal pada kurva biru $f(x)$, sehingga diperoleh $f(1) = 2$.
Setelah setiap potongan nilai diperoleh, substitusikan seluruh angka ke dalam operasi aritmatika aslinya:
$$\begin{aligned} (g \circ f)(1) + (h \circ g)(4) - (f \circ h)(4) &= 2 + 4 - 2 \\ &= 4 \end{aligned}$$
Hasil akhir perhitungan yang tepat adalah 4 (Opsi D).
Mari kita telaah mengapa pilihan jawaban lain keliru:
Opsi A (1) salah karena hasil perhitungan yang benar adalah 4, bukan 1; siswa mungkin keliru membaca sumbu atau hanya mengambil nilai $g(4) = 1$ lalu berhenti tanpa melanjutkan pemetaan.
Opsi B (2) salah karena hasil perhitungan yang benar adalah 4, bukan 2; siswa biasanya hanya menghitung salah satu suku saja, misalnya $(g \circ f)(1) = 2$, dan mengabaikan suku operasi lainnya.
Opsi C (3) salah karena hasil perhitungan yang benar adalah 4, bukan 3; opsi ini muncul akibat kesalahan hitung aritmatika sederhana atau kekeliruan membaca ketinggian titik kurva.
Opsi E (5) salah karena hasil perhitungan yang benar adalah 4, bukan 5; kekeliruan ini kerap terjadi jika siswa salah menerapkan tanda operasi pengurangan pada suku terakhir.