Eksponen Pecahan: Membuka Bungkus Pangkat

Pangkat Pecahan

Pangkat pecahan sebenarnya adalah instruksi untuk mengakarkan bilangan, lalu memangkatkannya.

Biasanya, kita mengenal pangkat bulat sebagai perkalian berulang: misalnya $2^3$ berarti $2 \times 2 \times 2$. Namun, ketika eksponen (bilangan yang menunjukkan seberapa banyak suatu angka dikalikan) berbentuk pecahan $\frac{m}{n}$, cara membacanya berbeda:

Penyebut $n$ adalah perintah untuk mencari akar pangkat $n$ dari basis (angka utama yang dipangkatkan).
Pembilang $m$ adalah perintah untuk memangkatkan hasilnya dengan $m$.

Bayangkan ini seperti membuka bungkus kado berlapis. Lapisan pembungkus pertama kita buka dengan menarik akarnya ke bawah, lalu isi di dalamnya kita pangkatkan.

Mari kita terapkan cara ini untuk membuka kado bilangan $a$ dan $b$ dari soal:

Menghitung $a = 32^{\frac{4}{5}}$ Ubah basis $32$ menjadi $2^5$.
$$a = (2^5)^{\frac{4}{5}} = 2^{5 \times \frac{4}{5}} = 2^4 = 16$$
Akar pangkat $5$ dari $32$ adalah $2$, lalu dipangkatkan $4$ menghasilkan $16$.
Menghitung $b = 81^{\frac{3}{4}}$ Ubah basis $81$ menjadi $3^4$.
$$b = (3^4)^{\frac{3}{4}} = 3^{4 \times \frac{3}{4}} = 3^3 = 27$$
Akar pangkat $4$ dari $81$ adalah $3$, lalu dipangkatkan $3$ menghasilkan $27$.

Pangkat Negatif

Pangkat negatif berfungsi membalik posisi bilangan menjadi kebalikannya, bukan membuat nilainya menjadi minus.

Setelah paham pangkat pecahan, mari kita lihat lapisan pembungkus lainnya: pangkat negatif. Tanda minus pada eksponen sama sekali bukan tanda operasi hitung pengurangan, melainkan penunjuk posisi atau kebalikan (reciprocal):

Untuk bilangan bulat: $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.
Untuk pecahan: $\left(\frac{1}{x}\right)^{-n} = x^n$.

Sebagai contoh sederhana, perhatikan ilustrasi pecahan $\left(\frac{1}{5}\right)^{-2}$. Tanda minus pada pangkat membalik pecahan $\frac{1}{5}$ menjadi $5$, sehingga bentuknya berubah menjadi $5^2 = 25$.

Berapakah nilai dari $\left(\frac{1}{4}\right)^{-3}$?

64
-64
1/64
-12

Jawaban: 64

Pangkat negatif pada pecahan bertindak membalik posisi pembilang dan penyebut: $(1/4)^{-3} = (4/1)^3 = 4^3 = 64$. Tanda minus pada pangkat tidak mengubah hasil menjadi negatif, sehingga -64 dan -12 salah, serta tidak dibiarkan sebagai pecahan 1/64.

Arti pangkat negatif pada bilangan pecahan

Menggabungkan Keduanya

Tuntaskan pangkat negatif terlebih dahulu untuk membalik pecahan, kemudian selesaikan pangkat pecahannya.

Sekarang kita gabungkan trik membuka bungkus kado berlapis antara pangkat negatif dan pangkat pecahan untuk mencari nilai $c$ dari soal:

$$c = \left(\frac{1}{25}\right)^{-\frac{3}{2}}$$

Mari kita buka bungkus kadonya selapis demi selapis:

Buka lapisan pertama (pangkat negatif): Gunakan sifat pembalikan pecahan. Pecahan $\frac{1}{25}$ dibalik menjadi $25$, dan tanda minus pada pangkat pun hilang:
$$c = 25^{\frac{3}{2}}$$
Buka lapisan kedua (pangkat pecahan): Ubah basis $25$ menjadi $5^2$, lalu kalikan eksponennya:
$$c = (5^2)^{\frac{3}{2}} = 5^{2 \times \frac{3}{2}} = 5^3 = 125$$
Akar pangkat $2$ dari $25$ adalah $5$, lalu dipangkatkan $3$ menghasilkan $125$.