Barisan Campuran: Aritmatika & Geometri

Aritmatika: Dari Pola ke Persamaan

Mungkin kamu pernah dengar rumus "Suku Tengah Barisan Aritmatika", tapi bingung dari mana asalnya. Tenang, kita mulai dari logikanya dulu! Inti dari barisan aritmatika itu sederhana: selalu ditambah atau dikurang dengan angka yang sama. Angka penambah ini disebut "beda" atau "selisih".

Nah, karena penambahnya selalu sama, kita bisa merumuskannya dengan cara yang logis: kalau kamu mengurangi suku kedua dengan suku pertama, hasilnya wajib sama dengan suku ketiga dikurangi suku kedua. Secara matematis ditulis: $U_2 - U_1 = U_3 - U_2$

Sekarang kita terapkan ke barisan di soal, yaitu $12, x_1, x_2$.

1. Kurangi suku kedua ($x_1$) dengan suku pertama ($12$) $\rightarrow x_1 - 12$

2. Kurangi suku ketiga ($x_2$) dengan suku kedua ($x_1$) $\rightarrow x_2 - x_1$

3. Samakan keduanya: $x_1 - 12 = x_2 - x_1$

Kalau kita pindahkan $-x_1$ ke ruas kiri (jadi ditambah), kita dapat: $2x_1 = x_2 + 12$

Geometri: Pola Kali Menjadi Rasio

Kalau aritmatika tadi urusannya sama tambah-tambahan, barisan geometri beda lagi. Barisan geometri punya pengali yang tetap. Pengali ini disebut "rasio".

Sama seperti ide selisih tadi, cara menemukan pengali yang tetap ini adalah dengan membagi suku yang lebih kanan dengan suku sebelumnya. Hasil baginya harus selalu sama: $\frac{U_2}{U_1} = \frac{U_3}{U_2}$

Mari kita pakai logika ini untuk barisan geometri di soal: $x_1, x_2, 4$.

1. Bagi suku kedua dengan suku pertama $\rightarrow \frac{x_2}{x_1}$

2. Bagi suku ketiga dengan suku kedua $\rightarrow \frac{4}{x_2}$

3. Samakan keduanya: $\frac{x_2}{x_1} = \frac{4}{x_2}$

Supaya persamaannya gampang dihitung dan terbebas dari bentuk pecahan, kita bisa kalikan silang: $x_2 \cdot x_2 = 4 \cdot x_1$ $x_2^2 = 4x_1$

Substitusi: Menyatukan Kepingan

Sekarang kita sudah punya dua "kepingan puzzle" dari barisan yang berbeda, tapi menggunakan huruf (variabel) yang sama, yaitu $x_1$ dan $x_2$.

Kepingan pertama (dari aritmatika): $2x_1 = x_2 + 12$

Kepingan kedua (dari geometri): $x_2^2 = 4x_1$

Tujuan kita sekarang adalah menggabungkan keduanya untuk mencari nilai $x_1$ dan $x_2$. Caranya? Kita masukkan (substitusikan) satu kepingan ke kepingan lainnya!

Biar gampang, kita ubah kepingan pertama supaya $x_1$ sendirian di satu sisi: $x_1 = \frac{x_2 + 12}{2}$

Sekarang, kita ganti huruf $x_1$ di persamaan geometri dengan bentuk baru ini: $x_2^2 = 4 \cdot \left(\frac{x_2 + 12}{2}\right)$

Kenapa kita melakukan ini? Karena sekarang persamaan kita cuma punya satu jenis huruf, yaitu $x_2$. Kalau hurufnya tinggal satu, persamaannya bisa kita pecahkan dengan mudah!