Menyederhanakan Trigonometri Sudut Acak
Turunan Aturan Komplementer
Fungsi sinus dan kosinus, serta tangen dan kotangen, memiliki nilai yang bertukar tempat pada sudut yang saling berkomplemen. Sudut yang tampak tidak istimewa seperti $81^\circ$ atau $48^\circ$ tidak perlu dicari nilainya menggunakan kalkulator. Kita cukup melihat bagaimana sudut-sudut tersebut berinteraksi di dalam sebuah segitiga siku-siku.
Dua sudut disebut sebagai sudut komplementer jika jumlah keduanya sama dengan $90^\circ$. Jika salah satu sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah $\theta$, maka sudut lancip lainnya adalah $90^\circ - \theta$. Hubungan antar-panjang sisi segitiga ini melahirkan relasi kofungsi.
Secara geometris, posisi pengamat menentukan mana sisi depan dan mana sisi samping:
Tinjau sudut $\theta$:
Sisi depannya adalah $y$, sisi sampingnya adalah $x$, dan sisi miringnya adalah $r$.
Maka $\sin(\theta) = \frac{y}{r}$, $\cos(\theta) = \frac{x}{r}$, $\tan(\theta) = \frac{y}{x}$, dan $\cot(\theta) = \frac{x}{y}$.
Tinjau sudut $90^\circ - \theta$:
Bagi sudut ini, sisi depannya adalah $x$ dan sisi sampingnya adalah $y$.
Maka $\cos(90^\circ - \theta) = \frac{\text{sisi samping}}{\text{miring}} = \frac{y}{r} = \sin(\theta)$.
Begitu pula untuk tangen: $\tan(90^\circ - \theta) = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \frac{x}{y} = \cot(\theta)$.
Sebagai contoh ilustrasi sudut istimewa, pada segitiga dengan sudut $30^\circ$ dan $60^\circ$ (keduanya berjumlah $90^\circ$), kita mendapati $\sin(30^\circ) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$ serta $\tan(30^\circ) = \cot(60^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Prinsip pertukaran rasio ini berlaku untuk sudut lancip berapapun tanpa terkecuali.
Tentukan kebenaran pernyataan mengenai relasi trigonometri berikut:
- Nilai dari $\sin(15^\circ)$ pasti sama dengan nilai dari $\cos(75^\circ)$. — Benar
- Fungsi tangen dan kosinus adalah pasangan kofungsi. — Salah
Pernyataan 1 Benar karena 15° + 75° = 90° (sudut komplementer), sehingga sin(15°) = cos(90° - 15°) = cos(75°). Pernyataan 2 Salah karena pasangan kofungsi yang tepat adalah sinus dengan kosinus, serta tangen dengan kotangen.
Memahami bahwa fungsi kofungsi bertukar nilai pada dua sudut yang berjumlah 90 derajat.
Mencari Pola di Soal
Sudut-sudut yang terlihat acak di soal bisa diseragamkan dengan mencari pasangan sudut yang jumlahnya 90 derajat. Saat menghadapi bentuk pecahan perkalian trigonometri dengan sudut yang bukan sudut istimewa, jangan panik atau mengira soal itu salah cetak. Perhatikan ekspresi pada soal:
$$\frac{\cos(81^\circ) \cdot \cot(48^\circ) \cdot \sin(45^\circ)}{\tan(42^\circ) \cdot \sin(9^\circ)}$$
Jika kita mengamati sudut-sudutnya, tampak dua pasang sudut komplementer:
Sudut $81^\circ$ dan $9^\circ$, karena $81^\circ + 9^\circ = 90^\circ$.
Sudut $48^\circ$ dan $42^\circ$, karena $48^\circ + 42^\circ = 90^\circ$.
Sekarang, kita gunakan relasi kofungsi untuk mengubah salah satu anggota dari masing-masing pasangan seperti menerapkan kurs pada konversi sistem mata uang:
Pada pembilang: ubah $\cos(81^\circ)$ menjadi $\cos(90^\circ - 9^\circ) = \sin(9^\circ)$.
Pada penyebut: ubah $\tan(42^\circ)$ menjadi $\tan(90^\circ - 48^\circ) = \cot(48^\circ)$.
Dengan langkah ini, bentuk ekspresi trigonometri kita kini memiliki suku-suku berpasangan yang persis sama di bagian atas dan bawah.
Bentuk yang ekuivalen dengan ekspresi $\tan(12^\circ)$ adalah...
- $\tan(78^\circ)$
- $\cot(78^\circ)$
- $\cot(12^\circ)$
- $-\cot(78^\circ)$
Jawaban: $\cot(78^\circ)$
Bentuk yang ekuivalen adalah cot(78°) karena aturan kofungsi menyatakan tan(x) = cot(90° - x), sehingga tan(12°) = cot(90° - 12°) = cot(78°). Opsi A salah karena hanya mengubah sudut tanpa mengganti fungsi menjadi kofungsinya. Opsi C salah karena mengganti nama fungsi tetapi tidak mengurangkan sudut dari 90°. Opsi D salah karena sudut 12° berada di kuadran I sehingga nilainya bernilai positif, bukan negatif.
Kemampuan mengonversi fungsi tangen ke kotangen menggunakan aturan kofungsi sudut komplementer 90 derajat.
Menyelesaikan Perhitungan
Ekspresi trigonometri yang sudah diseragamkan fungsinya bisa disederhanakan dengan membagi habis suku yang sama. Setelah kita mengganti $\cos(81^\circ)$ menjadi $\sin(9^\circ)$ dan $\tan(42^\circ)$ menjadi $\cot(48^\circ)$, kita susun kembali ekspresi pecahan secara utuh:
$$\frac{\sin(9^\circ) \cdot \cot(48^\circ) \cdot \sin(45^\circ)}{\cot(48^\circ) \cdot \sin(9^\circ)}$$
Perhatikan bahwa suku $\sin(9^\circ)$ dan $\cot(48^\circ)$ muncul pada pembilang sekaligus penyebut. Kita dapat membagi habis suku-suku identik tersebut:
$$\frac{\cancel{\sin(9^\circ)} \cdot \cancel{\cot(48^\circ)} \cdot \sin(45^\circ)}{\cancel{\cot(48^\circ)} \cdot \cancel{\sin(9^\circ)}} = \sin(45^\circ)$$
Karena $45^\circ$ adalah sudut istimewa di kuadran I, nilai perbandingan trigonometrinya adalah:
$$\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Hasil ini memastikan bahwa Opsi C adalah jawaban yang benar. Semua sudut yang terlibat bernilai lancip dan berada di kuadran I, sehingga nilainya pasti positif; dugaan bahwa hasilnya bertanda negatif seperti pada Opsi D ($-\frac{\sqrt{13}}{14}$) maupun Opsi E ($-1$) merupakan kesalahan kuadran. Sementara itu, Opsi A ($\frac{\sqrt{7}}{12}$) salah karena bukan nilai trigonometri sudut istimewa $45^\circ$.