Hierarki Himpunan Bilangan
Bilangan Asli vs Cacah
Himpunan bilangan cacah sepenuhnya melingkupi himpunan bilangan asli karena hanya ditambahkan angka nol.
Ibaratkan himpunan bilangan sebagai wadah bersarang: wadah yang lebih kecil masuk seutuhnya ke dalam wadah yang lebih besar. Wadah paling mendasar di pusat adalah Bilangan Asli ($\mathbb{N}$), yaitu kumpulan bilangan hitung positif $\{1, 2, 3, \dots\}$. Saat wadah ini diperluas dengan memasukkan satu angka baru, yaitu $0$, terciptalah wadah baru bernama Bilangan Cacah ($\mathbb{W}$) yang berisi $\{0, 1, 2, 3, \dots\}$.
Karena wadah bilangan asli berada utuh di dalam wadah bilangan cacah, setiap bilangan asli secara otomatis juga merupakan bilangan cacah. Hubungan ini langsung mematahkan dua pernyataan berikut:
Opsi E salah: Klaim "Setiap bilangan asli pasti tidak cacah" keliru karena bilangan asli justru merupakan himpunan bagian murni (subset) dari bilangan cacah. Angka $1, 2,$ atau $3$ adalah bilangan asli sekaligus bilangan cacah.
Opsi B salah: Klaim "Setiap bilangan cacah pasti bilangan asli" juga keliru. Himpunan bilangan cacah memiliki angka $0$ yang berada di luar wadah bilangan asli, sehingga tidak semua anggota cacah ada di dalam himpunan asli.
Berdasarkan hubungan wadah bersarang antara bilangan asli dan bilangan cacah, manakah pernyataan yang tepat tentang hubungan anggota kedua himpunan tersebut?
- Ada beberapa anggota bilangan asli yang tidak masuk ke dalam himpunan bilangan cacah.
- Semua angka yang ada di wadah bilangan asli, pasti bisa ditemukan di dalam wadah bilangan cacah.
- Semua angka di dalam bilangan cacah pasti merupakan bilangan asli.
- Angka nol termasuk di dalam wadah bilangan asli.
Jawaban: Semua angka yang ada di wadah bilangan asli, pasti bisa ditemukan di dalam wadah bilangan cacah.
Bilangan cacah memuat seluruh anggota bilangan asli {1, 2, 3, ...} ditambah angka 0. Karena wadah asli berada seutuhnya di dalam cacah, setiap anggota bilangan asli pasti ada di wadah cacah. Opsi C salah karena angka 0 bukan bilangan asli, dan opsi A serta D keliru mendefinisikan batas anggotanya.
Himpunan bilangan asli merupakan himpunan bagian dari bilangan cacah.
Bilangan Bulat dan Pecahan
Setiap bilangan bulat secara matematis adalah pecahan karena dapat ditulis dalam bentuk pembagian dengan angka satu.
Ketika wadah bilangan cacah diperluas lagi dengan menampung bilangan bulat negatif ($\{-1, -2, -3, \dots\}$), terbentuklah wadah Bilangan Bulat ($\mathbb{Z}$). Banyak yang mengira bilangan bulat dan pecahan berdiri sendiri di dunia yang berbeda karena bilangan bulat tampak "utuh" tanpa garis bagi. Namun, dalam matematika, definisi formal Bilangan Rasional (pecahan) adalah bilangan apa pun yang bisa dinyatakan dalam bentuk $\frac{p}{q}$, dengan $p$ dan $q$ adalah bilangan bulat serta $q \neq 0$.
Bilangan bulat apa pun, sebutlah $z$, selalu dapat diubah menjadi bentuk pecahan dengan penyebut $1$, yaitu $\frac{z}{1}$. Contohnya dari soal:
Angka $5$ bernilai sama dengan pecahan $\frac{5}{1}$.
Angka $-3$ bernilai sama dengan pecahan $\frac{-3}{1}$.
Karena semua anggota bilangan bulat memenuhi syarat pembentukan $\frac{p}{q}$, seluruh wadah bilangan bulat tertelan utuh di dalam wadah bilangan rasional. Inilah alasan mengapa Opsi C benar: setiap bilangan bulat pasti pecahan (rasional).
Seseorang mengatakan bahwa angka 12 bukanlah bagian dari bilangan rasional (pecahan) karena tampak utuh tanpa per atau koma. Mengapa pernyataan orang tersebut keliru?
- Karena bilangan rasional hanya berisi angka-angka yang memiliki koma desimal tak terhingga.
- Karena bilangan rasional dan bilangan bulat adalah dua himpunan mandiri yang saling lepas.
- Karena angka 12 dapat direpresentasikan sebagai pecahan bernilai sama, misalnya 12/1 atau 24/2.
- Karena angka 12 sudah bulat sehingga tidak perlu lagi digabungkan ke wadah bilangan lainnya.
Jawaban: Karena angka 12 dapat direpresentasikan sebagai pecahan bernilai sama, misalnya 12/1 atau 24/2.
Definisi bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk pembagian dua bilangan bulat a/b dengan b bukan nol. Angka 12 dapat ditulis sebagai 12/1 atau 24/2, sehingga 12 termasuk bilangan rasional (pecahan). Opsi A, B, dan D salah karena menyalahi definisi subset dan bentuk rasional.
Kemampuan merepresentasikan bilangan bulat sebagai bilangan rasional (pecahan).
Irasional dan Wadah Real
Bilangan real adalah wadah terluar yang menyatukan himpunan rasional dengan himpunan irasional yang saling asing.
Tidak semua bilangan di alam semesta bisa diubah menjadi pecahan $\frac{p}{q}$. Bilangan yang mustahil diubah ke bentuk perbandingan bilangan bulat disebut Bilangan Irasional, seperti $\sqrt{2}$, $\pi$, dan $e$. Karena syarat rasional (bisa dibentuk $\frac{p}{q}$) dan syarat irasional (tidak bisa dibentuk $\frac{p}{q}$) berlawanan langsung, kedua wadah ini terpisah total (disjoint) tanpa irisan sama sekali.
Hubungan ini menjelaskan dua opsi lainnya dari soal:
Opsi A salah: Klaim "Ada bilangan rasional yang irasional" keliru karena tidak ada satu pun bilangan yang dapat sekaligus menjadi anggota himpunan rasional dan irasional.
Opsi D salah: Klaim "Setiap bilangan real pasti rasional" keliru karena Bilangan Real ($\mathbb{R}$) menaungi bilangan rasional sekaligus irasional. Bilangan real seperti $\sqrt{2}$ dan $\pi$ adalah contoh nyata anggota real yang bukan rasional.
Tentukan kebenaran dari klaim mengenai karakteristik himpunan bilangan berikut!
- Sebuah bilangan real selalu dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan pembagian dua bilangan bulat. — Salah
- Tidak ada satu pun angka di semesta yang sekaligus menjadi anggota bilangan rasional dan irasional. — Benar
Pernyataan 1 salah karena bilangan real juga mencakup bilangan irasional (seperti pi dan akar 2) yang mustahil ditulis sebagai pecahan dua bilangan bulat. Pernyataan 2 benar karena definisi rasional dan irasional saling meniadakan secara mutlak, sehingga tidak memiliki irisan anggota (saling lepas).
Bilangan real mencakup bilangan rasional dan irasional secara bersamaan tanpa irisan.