Pertidaksamaan & Grafik Melayang

Eksperimen Tes Angka

Pernahkah kamu melihat soal pertidaksamaan seperti $x^2 + 2x + 3 \ge 0$ dan langsung bingung mau mulai dari mana? Tenang, kamu tidak sendirian.

Pertidaksamaan itu sebenarnya cuma nanya satu hal simpel: "angka $x$ berapa saja yang kalau dimasukkan ke persamaan itu, hasilnya jadi positif atau nol?"

Daripada pusing mikirin rumus atau cara memfaktorkan yang mungkin tidak bisa dilakukan, ayo kita bereksperimen dengan mengetes beberapa angka!

Coba kita masukkan $x = 0$. Hasilnya adalah $0^2 + 2(0) + 3 = 3$ (positif). Lalu kita tes angka positif, misalnya $x = 1$. Hasilnya $1^2 + 2(1) + 3 = 6$ (positif). Gimana kalau angka negatif? Misal $x = -2$. Hasilnya $(-2)^2 + 2(-2) + 3 = 4 - 4 + 3 = 3$. Ternyata hasilnya positif juga!

Jika kita memasukkan nilai $x = -5$ ke dalam fungsi $x^2 + 2x + 3$, apakah hasilnya memenuhi pertidaksamaan $\\ge 0$?

  • A. Ya, karena hasilnya 18 yang lebih besar dari 0
  • B. Ya, karena hasilnya -12 yang lebih kecil dari 0
  • C. Tidak, karena hasilnya negatif
  • D. Tidak, karena persamaan menjadi 0

Jawaban: A. Ya, karena hasilnya 18 yang lebih besar dari 0

Substitusi $x = -5$ menghasilkan $(-5)^2 + 2(-5) + 3 = 25 - 10 + 3 = 18$. Karena $18 \\ge 0$, maka $x=-5$ memenuhi pertidaksamaan tersebut.

Fungsi kuadrat tertentu selalu menghasilkan nilai positif tidak peduli berapapun nilai x yang dimasukkan.

Melihat Pola Melayang

Dari tes angka tadi, kita mendapat sebuah fakta menarik: tidak peduli nilai $x$-nya positif, negatif, atau nol, hasil perhitungannya tidak pernah negatif. Sekarang, bagaimana jika pola ini kita ubah menjadi sebuah gambar?

Kalau semua angka hasil tes tadi kita jadikan titik koordinat (di mana $x$ adalah angka yang kita tes, dan sumbu tegak / $y$ adalah hasilnya), lalu digambar sejajar, bentuknya akan menjadi kurva melengkung ke atas yang disebut parabola.

Angka di depan $x^2$ itu positif (yaitu 1). Ini adalah syarat pertama yang membuat kurva parabola terbuka ke atas, ibarat mangkuk yang sedang tersenyum lebar.

Lalu, karena dari tes tadi hasilnya selalu lebih besar dari nol, mangkuk ini pun melayang bebas. Titik paling rendah dari kurva ini tetap berada di atas "lantai" sumbu-x, dan sama sekali tidak pernah menyentuh atau menembus ke bawah lantai.

Tentu saja menggambar kurva tiap kali ada soal itu memakan waktu. Nanti kita akan melihat cara super cepat mendeteksinya.

Secara visual, apa ciri utama dari sebuah grafik fungsi kuadrat yang disebut 'Definit Positif'?

  • A. Kurvanya memotong sumbu-x di dua titik yang berbeda
  • B. Kurvanya terbuka ke bawah dan menyinggung sumbu-x
  • C. Kurvanya terbuka ke atas dan seluruh bagiannya melayang di atas sumbu-x
  • D. Titik puncaknya berada tepat di (0,0) sumbu koordinat

Jawaban: C. Kurvanya terbuka ke atas dan seluruh bagiannya melayang di atas sumbu-x

Definit positif berarti nilai y selalu positif untuk semua x, sehingga grafiknya selalu berada di atas sumbu-x (tidak pernah memotong) dan berbentuk kurva senyum (terbuka ke atas).

Grafik definit positif selalu melayang di atas sumbu-x dan berbentuk parabola yang terbuka ke atas.

Jalan Pintas si Diskriminan

Menebak angka terus-terusan atau menggambar grafik itu tentu sangat merepotkan. Nah, matematikawan punya alat deteksi super cepat tanpa harus menggambar grafik. Alat deteksi ini dinamakan Diskriminan, dengan rumus sakti $D = b^2 - 4ac$.

Tugas utama Diskriminan adalah bertindak layaknya "sensor lantai". Alat ini mendeteksi apakah kurva menabrak lantai sumbu-x atau tidak.

Aturan main Diskriminan sangat sederhana:

  1. Kalau $D > 0$, kurva akan memotong sumbu-x di dua tempat (nabrak lantai).

  2. Kalau $D = 0$, kurva tepat menyinggung sumbu-x di satu tempat (nyentuh lantai sedikit).

  3. Kalau $D < 0$ (negatif), kurva tidak pernah menyentuh lantai sama sekali!

Mari kita jalankan sensor ini pada fungsi soal kita: $x^2 + 2x + 3$. Nilai $a = 1$, $b = 2$, dan $c = 3$. Maka nilai Diskriminannya adalah: $D = 2^2 - 4(1)(3) = 4 - 12 = -8$.

Tentukan kebenaran dari pernyataan berikut mengenai Diskriminan (D) dan bentuk grafik:

  • Jika nilai D < 0, maka grafik parabola pasti tidak akan pernah memotong sumbu-x. — Benar
  • Kita hanya butuh melihat nilai D < 0 saja untuk menyimpulkan sebuah fungsi adalah definit positif. — Salah

Pernyataan 1 Benar: D < 0 artinya kurva tidak menyentuh sumbu-x. Pernyataan 2 Salah: Kita juga wajib memastikan a > 0. Kalau a < 0 dan D < 0, kurvanya malah melayang di bawah sumbu-x (definit negatif).

Syarat definit positif adalah a > 0 (kurva terbuka ke atas) dan D < 0 (kurva tidak menyentuh sumbu-x).