Komposisi Fungsi: Buka Kado Harga Belanja

Membongkar Kado Tagihan

Bayangkan kamu menerima kado ulang tahun berupa kotak yang dibungkus tiga lapis. Apa yang harus kamu lakukan untuk melihat hadiah aslinya di dalam kotak terkecil? Tentu saja, kamu harus membuka bungkus yang paling luar dulu, kan? Nggak mungkin kamu langsung merobek kotak bagian paling dalam.

Mencari harga asli barang saat checkout e-commerce bekerja dengan logika "buka kado" yang sama persis.

Ketika kamu berbelanja, harga barangmu akan melewati serangkaian proses secara berurutan:

1. Harga Asli (kado terdalam)

2. Dibungkus Diskon (lapisan kedua)

3. Terakhir, dibungkus Pajak & Layanan (bungkus terluar).

Di layar checkout, tagihan akhir yang kamu lihat sudah berbentuk kotak terluar—dalam kasus soal, nilainya adalah $\text{Rp }192.000$.

Karena kamu tahu alurnya adalah Harga Asli $\rightarrow$ Diskon $\rightarrow$ Pajak/Layanan, maka saat kita ingin melacak harganya secara mundur, kita kurangi dulu biaya layanannya, lalu hilangkan pajaknya, dan terakhir kembalikan diskonnya ke nilai semula. Itulah kenapa sekadar "tebak-tebakan" hitung cepat di kepala sering meleset: kita perlu membuka lapisannya satu per satu secara teratur.

Kotak Ini Punya Nama

Dalam matematika, kita tidak menggunakan istilah "kotak kado". Kita menyebutnya fungsi. Jika sebuah barang masuk ke kotak diskon, lalu dimasukkan lagi ke kotak pajak, matematika meringkasnya menjadi satu konsep: Fungsi Komposisi.

Mari kita beri nama untuk masing-masing "kotak":

• $x$ = Harga asli barang (isi kado paling dalam).

• $f(x)$ = Kotak Diskon, dirumuskan $f(x) = x - 20000$.

• $g(y)$ = Kotak Pajak & Layanan, dirumuskan $g(y) = 1{,}1y + 5000$.

Proses memasukkan kotak diskon ke dalam kotak pajak disebut komposisi fungsi, dan ditulis sebagai $(g \circ f)(x)$ atau $g(f(x))$.

Cara membacanya gampang: "Kerjakan $f(x)$ dulu, lalu hasilnya masukkan ke dalam $g$". Karena harga setelah diskon adalah $y = f(x)$, ketika nilai itu dimasukkan ke fungsi pajak, kita mengganti huruf $y$ di rumus pajak dengan kotak $f(x)$.

Mari kita lihat secara tertulis:

Saat disederhanakan (dikali masuk), persamaannya akan menjadi satu "kotak gabungan" yang mewakili seluruh proses tagihan e-commerce tersebut:

Rumus gabungan inilah yang menghasilkan nilai tagihan akhir Rp192.000!

Matematika Membuka Kado

Sekarang kita gabungkan intuisi "buka kado dari luar" dengan persamaan aljabar dari kotak fungsi tadi.

Kita tahu bahwa total tagihan akhirnya adalah $192000$. Jika dituliskan dalam matematika:

Aturan pindah ruas dalam aljabar yang mungkin sering kamu hafal sebenarnya tidak lain adalah wujud nyata dari operasi invers (membongkar kado perlahan-lahan dari luar ke dalam).

Alih-alih menebak angka yang pas, matematika memberikan prosedur yang rapi:

1. Buka Bungkus Terluar (Pengurangan Gabungan): Di ruas kiri ada $- 17000$. Untuk menghilangkannya (lawan dari kurang adalah tambah), kita tambahkan $17000$ ke ruas kanan. $1{,}1x = 192000 + 17000$ $1{,}1x = 209000$

2. Buka Bungkus Dalam (Pengali Pajak): Di ruas kiri ada perkalian dengan $1{,}1$. Lawan dari perkalian adalah pembagian. Maka, kita bagi ruas kanan dengan $1{,}1$. $x = \frac{209000}{1{,}1}$ $x = 190000$

Dengan pendekatan aljabar yang perlahan ini, kita tidak hanya menebak, tapi membuktikan secara pasti bahwa harga aslinya adalah $\text{Rp }190.000$.