Aritmetika Campuran: Dari Pecahan ke Desimal

Menyatukan Bahasa Bilangan

Operasi hitung campuran baru bisa diselesaikan jika semua bilangan diubah ke satu bentuk yang seragam. Sering kali persen, desimal, dan pecahan campuran tampak rumit karena tampil dalam format yang berbeda, padahal semuanya hanyalah cara lain untuk menyatakan besaran yang sama.

Bayangkan kita memiliki balok cokelat utuh yang bernilai $1$. Nilai penyebut adalah seberapa banyak balok itu kita potong secara merata (ukuran potongannya), sedangkan pembilang adalah berapa banyak potongan yang kita ambil. Simbol persen ($\%$) berarti per seratus, sehingga $35\%$ berarti memotong balok cokelat menjadi $100$ potong kecil dan mengambil $35$ bagian di antaranya. Begitu pula dengan desimal $0{,}45$, yang berarti mengambil $45$ dari $100$ potong ($45\text{ perseratus}$).

Kita dapat menyederhanakan pecahan tersebut ke bentuk pecahan biasa paling ringkas dengan membagi pembilang dan penyebut menggunakan faktor persekutuan terbesarnya:

• $35\% = \frac{35}{100} = \frac{35 \div 5}{100 \div 5} = \frac{7}{20}$

• $0{,}45 = \frac{45}{100} = \frac{45 \div 5}{100 \div 5} = \frac{9}{20}$

Bagaimana dengan pecahan campuran seperti $1\frac{3}{7}$? Angka $1$ mewakili $1$ balok cokelat utuh yang dipotong menjadi $7$ bagian sama rata ($\frac{7}{7}$), lalu ada tambahan $3$ potong ekstra. Maka total potongannya menjadi $7 + 3 = 10$ potong berukuran per-tujuh:

$$1\frac{3}{7} = \frac{(1 \times 7) + 3}{7} = \frac{10}{7}$$

Dengan menyamakan semua bilangan ke dalam bahasa pecahan biasa, ekspresi awal di soal kita sekarang tertulis rapi: $\left(\frac{4}{5} + \frac{7}{20}\right) \times \frac{10}{7} - \frac{9}{20}$.

Aturan Tanda Kurung

Tanda kurung memaksa kita menyelesaikan operasi di dalamnya lebih dulu, mengubah hierarki matematika yang standar. Dalam antrean perhitungan aritmetika, tanda kurung berlaku layaknya tamu prioritas yang harus dilayani tuntas sebelum operasi perkalian atau pengurangan di luarnya dikerjakan.

Pada soal kita, bagian di dalam tanda kurung adalah:

$$\frac{4}{5} + \frac{7}{20}$$

Untuk menjumlahkan dua pecahan, ukuran potongan balok cokelatnya harus sama. Pecahan $\frac{4}{5}$ memiliki potongan yang lebih besar daripada $\frac{7}{20}$. Agar ukurannya seragam, kita cukup membelah setiap $1$ potongan pada balok kelima menjadi $4$ bagian kecil, sehingga totalnya menjadi $20$ bagian.

Secara matematis, kita kalikan pembilang dan penyebut dengan $4$:

$$\frac{4 \times 4}{5 \times 4} = \frac{16}{20}$$

Sekarang ukurannya sudah setara, sehingga pembilangnya bisa dijumlahkan langsung:

$$\frac{16}{20} + \frac{7}{20} = \frac{16 + 7}{20} = \frac{23}{20}$$

Perkalian Pecahan Itu Mudah

Berbeda dengan penjumlahan, perkalian pecahan tidak membutuhkan penyebut yang sama; kita mengalikan pembilang dengan pembilang, penyebut dengan penyebut.

Langkah berikutnya setelah menyelesaikan operasi di dalam kurung adalah mengalikan hasilnya ($\frac{23}{20}$) dengan pecahan campuran yang telah diubah ($\frac{10}{7}$):

$$\frac{23}{20} \times \frac{10}{7}$$

Aturan perkalian pecahan sangat langsung: kalikan bagian atas bersama bagian atas, dan bagian bawah bersama bagian bawah:

$$\frac{23 \times 10}{20 \times 7}$$

Namun, jangan terburu-buru mengalikan angkanya menjadi besar. Kita bisa memanfaatkan teknik penyederhanaan silang. Perhatikan angka $10$ di pembilang dan $20$ di penyebut; keduanya dapat dibagi dengan bilangan yang sama, yaitu $10$:

$$\frac{23 \times \overset{1}{\cancel{10}}}{\underset{2}{\cancel{20}} \times 7} = \frac{23 \times 1}{2 \times 7} = \frac{23}{14}$$