Trik Identitas Aljabar di Sistem Persamaan

Ketika Persamaan Kekurangan Informasi

Sistem persamaan dengan variabel lebih banyak daripada jumlah persamaan (underdetermined system) umumnya tidak bisa diselesaikan dengan eliminasi biasa, melainkan menyembunyikan kondisi khusus.

Di soal ini, kita diberikan dua persamaan dengan tiga variabel:

1. $x + 2y + 3z = 12$

2. $2xy + 3xz + 6yz = 48$

Dalam aljabar linier standar, memiliki 3 variabel dengan hanya 2 persamaan berarti ada tak terhingga kemungkinan pasangan nilai $(x, y, z)$. Mengandalkan eliminasi atau substitusi biasa di sini seperti mengadakan razia tanpa ciri tersangka yang jelas: kita akan berputar-putar tanpa ujung.

Sebagian siswa mungkin tergoda menebak kombinasi bilangan bulat untuk persamaan pertama, misalnya memilih $x = 3$, $y = 3$, dan $z = 1$ (karena $3 + 2(3) + 3(1) = 12$). Jika nilai tebakan ini langsung dimasukkan ke $x + y - 3z$, hasilnya adalah $3 + 3 - 3(1) = 3$ (Opsi C). Namun, tebakan ini langsung runtuh begitu diuji ke persamaan kedua karena $2(3)(3) + 3(3)(1) + 6(3)(1) = 18 + 9 + 18 = 45 \neq 48$.

Merapikan Samaran: Substitusi Pola

Mengganti sekelompok variabel menjadi satu variabel baru membantu kita melihat struktur asli dari persamaan yang rumit.

Bentuk $2xy + 3xz + 6yz = 48$ sekilas terlihat rumit dan tidak beraturan. Namun, perhatikan kembali suku-suku pada persamaan pertama: ada $x$, $2y$, dan $3z$.

Mari kita pasang kacamata UV detektif kita dengan melakukan substitusi pola:

• Misalkan $A = x$

• Misalkan $B = 2y$

• Misalkan $C = 3z$

Dengan pemisalan tersebut, persamaan pertama langsung berubah menjadi sangat rapi:

$$A + B + C = 12$$

Sekarang, selidiki apa yang terjadi jika komponen-komponen ini saling dikalikan berpasangan:

• $A \times B = (x)(2y) = 2xy$

• $A \times C = (x)(3z) = 3xz$

• $B \times C = (2y)(3z) = 6yz$

Ternyata, suku-suku di persamaan kedua tidak lain adalah jumlah dari perkalian silang ketiga variabel baru kita:

$$AB + AC + BC = 48$$

Penyamaran aljabar yang rumit kini telah terbuka menjadi struktur dasar yang simetris: jumlah suku bernilai $12$, dan jumlah hasil kali silangnya bernilai $48$.

Misteri di Balik Angka 12 dan 48

Hubungan antara jumlah suku dan jumlah perkalian silang terikat kuat oleh rumus pengkuadratan aljabar.

Setelah penyamaran terbuka, kita memiliki dua relasi sederhana:

• $A + B + C = 12$

• $AB + BC + AC = 48$

Pertanyaannya: mengapa pembuat soal memilih angka $12$ dan $48$? Apakah angka ini dipilih sembarangan?

Di sinilah motif pembuat soal terungkap lewat teknik reverse engineering. Ingat kembali identitas kuadrat untuk tiga suku:

$$(A + B + C)^2 = A^2 + B^2 + C^2 + 2(AB + BC + AC)$$

Sekarang, masukkan nilai-nilai yang kita ketahui ke dalam identitas tersebut:

$$12^2 = A^2 + B^2 + C^2 + 2(48)$$

$$144 = A^2 + B^2 + C^2 + 96$$

Kurangkan kedua ruas dengan $96$:

$$A^2 + B^2 + C^2 = 144 - 96 = 48$$