Menyiasati Syarat Kombinasi yang Bertabrakan
Konsep Kombinasi dan Slot
Saat memilih anggota tanpa mempedulikan urutan, jumlah kemungkinan dihitung memakai prinsip Kombinasi; jika satu anggota diwajibkan masuk, maka slot tersisa dan pilihan kandidat ikut berkurang secara bersamaan.
Bayangkan kamu sedang meracik minuman boba. Di tokomu tersedia $5$ jenis sirup, dan kamu harus memilih $3$ jenis sirup untuk dituangkan ke dalam satu gelas tanpa memedulikan urutan tuangnya. Banyak cara memilih $3$ sirup dari $5$ pilihan ini dirumuskan dengan kombinasi:
$$C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5 - 3)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \text{ cara}$$
Ini langsung membuktikan bahwa Opsi A salah, karena pernyataan pada Opsi A mengklaim ada $12$ cara memilih $3$ pria dari $5$ kandidat tanpa syarat, padahal perhitungannya menghasilkan tepat $10$ cara.
Eksplorasi interaktif di atas memperlihatkan apa yang terjadi saat satu pilihan dikunci. Ketika ada $1$ sirup tertentu yang berstatus Wajib Masuk, sirup tersebut langsung menempati satu slot di gelas. Akibatnya, kamu tidak lagi memilih $3$ sirup, melainkan tinggal mengisi $2$ slot kosong dari $4$ pilihan sirup yang tersisa:
$$C(4, 2) = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \text{ cara}$$
Ada 6 varian buah untuk dibuat jus campur dan harus dipilih 4 macam buah. Jika buah Jeruk wajib ada di dalam campuran, berapa banyak buah lagi yang harus kamu pilih dan dari berapa banyak pilihan yang tersisa?
- Memilih 3 buah lagi dari 5 pilihan yang tersisa.
- Memilih 4 buah lagi dari 5 pilihan yang tersisa.
- Memilih 3 buah lagi dari 6 pilihan yang tersisa.
- Memilih 4 buah lagi dari 6 pilihan yang tersisa.
Jawaban: Memilih 3 buah lagi dari 5 pilihan yang tersisa.
Jeruk sudah pasti masuk, sehingga slot berkurang 1 (dari 4 menjadi 3) dan pilihan buah yang tersisa berkurang 1 (dari 6 menjadi 5). Opsi B salah karena slot tidak dikurangi, Opsi C salah karena pool buah tidak dikurangi, dan Opsi D salah karena mengabaikan buah yang sudah terisi sama sekali.
Kondisi wajib memilih anggota mengurangi kapasitas slot yang tersedia.
Gabung Dua Kelompok
Untuk menghitung susunan dari dua kelompok yang digabung, kalikan kombinasi masing-masing kelompok karena setiap pilihan di kelompok pertama dapat dipasangkan bebas dengan setiap pilihan di kelompok kedua.
Kembali ke racikan boba: selain memilih $3$ sirup dari $5$ kandidat sirup (kelompok pria), kamu juga harus memilih $3$ topping dari $5$ kandidat topping (kelompok wanita). Untuk kelompok topping wanita, banyak pilihannya juga sama persis:
$$C(5, 3) = 10 \text{ cara}$$
Diagram di atas mengilustrasikan prinsip perkalian ini. Setiap $1$ racikan kombinasi sirup yang kamu pilih bisa dipasangkan dengan $10$ variasi topping yang berbeda. Begitu pula untuk racikan sirup kedua, ketiga, hingga kesepuluh.
Karena kedua proses pemilihan tersebut berjalan independen tanpa ada hubungan awal, total kemungkinan paket minuman tanpa aturan khusus dihitung dengan mengalikan keduanya, bukan menjumlahkannya:
$$10 \times 10 = 100 \text{ kemungkinan}$$
Kondisi Berbahaya: Keduanya Terpilih
Jika dua anggota tertentu sama-sama diwajibkan terpilih, perhitungan kombinasi dilakukan dengan dua slot tersisa pada masing-masing kelompok.
Aturan konferensi sains menyebutkan bahwa delegasi tidak boleh memuat peneliti pria termuda dan peneliti wanita termuda secara bersamaan. Dalam analogi boba, anggap sirup termurah dan topping termurah rasanya aneh jika dicampur bersamaan, sehingga kombinasi ini dilarang.
Ilustrasi di atas menggambarkan situasi terlarang tersebut. Jika peneliti pria termuda dan wanita termuda dipaksa masuk bersama ke dalam tim, perhitungannya berjalan seperti ini:
Kelompok pria (sirup): Pria termuda sudah duduk di $1$ kursi. Dari sisa $4$ pria, kita cukup memilih $2$ orang lagi untuk melengkapi kuota $3$ orang:
$$C(4, 2) = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \text{ cara}$$
Kelompok wanita (topping): Wanita termuda juga sudah duduk di $1$ kursi. Dari sisa $4$ wanita, kita memilih $2$ orang lagi:
$$C(4, 2) = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \text{ cara}$$
Menggabungkan kedua kelompok, banyak susunan terlarang di mana keduanya terpilih bersamaan adalah:
$$6 \times 6 = 36 \text{ cara}$$
Sekarang kita bisa mengevaluasi Opsi B. Pernyataan pada Opsi B menyebutkan ada $16$ cara untuk kondisi pria termuda dan wanita termuda sama-sama terpilih, sehingga Opsi B salah. Angka $16$ adalah jebakan yang muncul jika seseorang salah menghitung dengan rumus $C(4, 3) \times C(4, 3)$, yang sebenarnya adalah situasi saat kedua anggota termuda sama sekali tidak dipilih.