Membongkar Maksimum & Minimum Sinus

Misteri Kotak Dalam

Berapapun angka yang mengalikan sudut di dalam fungsi sinus, rentang nilainya akan selalu mentok di $1$ dan $-1$.

Fungsi sinus dasar $\sin(x)$ selalu berayun teratur antara nilai maksimum $1$ dan minimum $-1$. Bayangkan gelombang sinus ini seperti pergerakan sebuah ayunan. Angka di dalam kurung sinus—seperti pengali $5$ pada bentuk $\sin(5x)$—hanya mengubah seberapa cepat ayunan tersebut berayun bolak-balik atau seberapa rapat gelombangnya terbentuk di sepanjang sumbu horizontal.

Perubahan kecepatan ayunan itu sama sekali tidak memengaruhi seberapa tinggi ayunan bisa naik. Oleh karena itu, rentang nilai hasil dari $\sin(5x)$ tetap sama persis dengan sinus biasa: nilai tertingginya mentok di $1$, dan nilai terendahnya mentok di $-1$, atau ditulis $-1 \le \sin(5x) \le 1$.

Diberikan sebuah fungsi gelombang $y = \sin(100x)$. Berapakah nilai maksimum dari fungsi tersebut?

  • Bernilai 1
  • Bernilai 50
  • Bernilai 100
  • Bernilai 0

Jawaban: Bernilai 1

Nilai fungsi sinus murni selalu terikat pada rentang $[-1, 1]$. Berapapun angka pengali di dalam kurung sinus (seperti 100x), fungsi hanya berayun lebih cepat, tetapi batas tertingginya tetap bernilai 1. Opsi C keliru karena mengalikan batas dengan 100, opsi B mengambil separuh dari 100, dan opsi D keliru menafsirkan batas atas.

Angka di dalam argumen fungsi sinus tidak memengaruhi nilai maksimum dan minimumnya.

Efek Amplitudo di Luar

Angka pengali di depan fungsi sinus merenggangkan atau menekan rentang nilai grafiknya, disebut amplitudo.

Setelah kita mengetahui bahwa nilai $\sin(5x)$ selalu berada di dalam rentang $-1$ sampai $1$, kita melangkah ke bagian luar fungsi pada soal: ada angka $3$ yang mengalikannya menjadi $3\sin(5x)$. Angka pengali di luar kurung ini dinamakan amplitudo, yaitu jarak simpangan terjauh gelombang dari titik tengahnya.

Pada analogi ayunan kita, amplitudo ini ibarat dorongan tenaga yang membuat ayunan terlempar lebih jauh ke depan dan ke belakang. Karena seluruh hasil sinus dikalikan dengan $3$, maka batas maksimum dan minimum dasarnya ikut dikalikan $3$:

Grafik $3\sin(5x)$ kini merenggang secara vertikal dari titik terendah $-3$ hingga titik tertinggi $3$.

Analisis fungsi $f(x) = 4\sin(2x)$. Tentukan apakah setiap pernyataan berikut Benar atau Salah:

  • Nilai maksimum dari fungsi $f(x) = 4\sin(2x)$ adalah 4. — Benar
  • Nilai minimum dari fungsi $f(x) = 4\sin(2x)$ adalah -2. — Salah

Pernyataan pertama Benar karena amplitudo 4 melipatgandakan nilai puncak sinus dasar (1) menjadi $4 \times 1 = 4$. Pernyataan kedua Salah karena nilai minimum sinus dasar (-1) jika dilipatgandakan oleh amplitudo 4 menghasilkan batas minimum $4 \times (-1) = -4$, bukan -2.

Pengali di depan fungsi sinus (amplitudo) melipatgandakan batas nilai maksimum dan minimum fungsi dasar.

Pergeseran Vertikal & Eksekusi

Konstanta yang ditambahkan atau dikurangkan di akhir fungsi akan menggeser seluruh grafik naik atau turun, menentukan nilai minimum dan maksimum final.

Komponen terakhir dari fungsi $g(x) = 3\sin(5x) - 2$ adalah pengurangan $2$. Operasi ini menghasilkan pergeseran vertikal: ibarat tiang penyangga ayunan diturunkan sedalam $2$ meter, seluruh titik pada lintasan ayunan otomatis ikut merosot turun sejauh $2$ satuan tanpa mengubah bentuk gelombangnya sama sekali.

Kita tinggal menerapkan pergeseran ini pada batas gelombang yang sudah kita peroleh:

Sekarang kita evaluasi nilai akhir yang diminta soal, yaitu $p^2 + q^2$:

$$p^2 + q^2 = (1)^2 + (-5)^2 = 1 + 25 = 26$$

Hasil ini mengonfirmasi bahwa Opsi D bernilai $26$ adalah jawaban yang benar.

Pola membedah fungsi secara bertahap dari 'dalam ke luar'—mulai dari sudut sinus, dikalikan amplitudo, lalu dikenai pergeseran vertikal—adalah teknik yang sangat berguna saat menganalisis fungsi gelombang maupun persoalan gerak harmonik sederhana dalam fisika.