Menyingkap Dimensi Lewat Polinomial

Membongkar Pangkat Tiga

Bentuk pangkat tiga dari binomial dapat diekspansi secara sistematis menggunakan pola koefisien tertentu tanpa harus mengalikan kurung satu per satu. Bayangkan pemodelan aljabar ini seperti membongkar brankas berlapis: tahap pertamanya adalah membuka gembok luar dengan mengubah bentuk perpangkatan menjadi bentuk suku banyak yang terurai.

Daripada mengalikan $(a - b)(a - b)(a - b)$ secara berulang yang memakan waktu dan rawan keliru tanda, kita bisa langsung memanfaatkan identitas ekspansi pangkat tiga:

$$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$

Perhatikan polanya: suku-sukunya berselang-seling tanda $(+ - + -)$, dan koefisien binomialnya selalu mengikuti pola $1, 3, 3, 1$.

Pada soal kardus kemasan, kemasan pertama memiliki rusuk $x$, sedangkan kemasan kedua memiliki rusuk $2\text{ m}$ lebih pendek, yaitu $(x - 2)$. Dengan menggunakan pola di atas untuk $a = x$ dan $b = 2$, volume kemasan kedua langsung terbongkar rapi:

$$(x - 2)^3 = x^3 - 3(x^2)(2) + 3(x)(2^2) - 2^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$$

Sekarang kita gabungkan volume kedua kemasan dengan total volume $72\text{ m}^3$:

$$\begin{aligned} V_1 + V_2 &= 72 \\ x^3 + (x^3 - 6x^2 + 12x - 8) &= 72 \\ 2x^3 - 6x^2 + 12x - 80 &= 0 \end{aligned}$$

Bagi kedua ruas dengan $2$, kita peroleh model persamaan polinomial:

$$x^3 - 3x^2 + 6x - 40 = 0$$

Hasil penurunan ini membuktikan secara langsung bahwa Opsi A bernilai benar.

Berdasarkan pola ekspansi binomial yang telah dipelajari, manakah hasil penjabaran yang tepat dari bentuk (y - 3)^3?

  • y^3 - 3y^2 + 9y - 27
  • y^3 - 9y^2 + 27y - 27
  • y^3 - 27
  • y^3 - 9y^2 - 27y - 27

Jawaban: y^3 - 9y^2 + 27y - 27

Dengan pola (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3, substitusi a = y dan b = 3 menghasilkan y^3 - 3(y^2)(3) + 3(y)(3^2) - 3^3 = y^3 - 9y^2 + 27y - 27. Pilihan A keliru karena lupa faktor pengali 3 pada suku tengah, pilihan C keliru mengabaikan suku silang, dan pilihan D salah pada tanda suku ketiga.

Menjabarkan bentuk binomial pangkat tiga pengurangan

Akar vs Faktor

Akar adalah angka yang membuat nilai polinomial menjadi nol, sedangkan faktor adalah bentuk aljabarnya yang membagi habis. Dalam analogi membongkar brankas berlapis, mencari akar ibarat menebak kombinasi angka yang pas, sedangkan faktor adalah anak kunci fisik yang bentuk lekukannya pas dengan lubang gembok tersebut.

Keduanya berpasangan erat lewat Teorema Faktor: jika sebuah angka $x = c$ membuat nilai fungsi $f(c) = 0$, maka ekspresi aljabar $(x - c)$ adalah faktor pembagi dari suku banyak tersebut.

Diagram hubungan antara pembuat nol akar x sama dengan c dan bentuk faktor aljabar x minus c

Bagaimana cara menguji Opsi B tanpa harus melakukan pembagian panjang yang rumit? Kita cukup menguji calon akarnya. Pernyataan menyebut $(x - 4)$ sebagai faktor, yang artinya kita perlu memeriksa apakah angka $x = 4$ menghasilkan nilai nol saat disubstitusikan ke persamaan $f(x) = x^3 - 3x^2 + 6x - 40$:

$$\begin{aligned} f(4) &= (4)^3 - 3(4)^2 + 6(4) - 40 \\ &= 64 - 3(16) + 24 - 40 \\ &= 64 - 48 + 24 - 40 = 0 \end{aligned}$$

Karena $f(4) = 0$, terbukti bahwa $x = 4$ adalah akar dan $(x - 4)$ adalah faktor yang sah. Pernyataan pada Opsi B bernilai benar.

Diberikan suatu suku banyak f(x) yang memenuhi f(5) = 0. Tentukan kebenaran dari masing-masing pernyataan berikut!

  • (x - 5) adalah akar dari polinomial f(x). — Salah
  • Nilai x = 5 adalah akar dari f(x). — Benar

Pernyataan pertama salah karena (x - 5) adalah bentuk aljabar yang membagi habis f(x), sehingga disebut faktor, bukan akar. Pernyataan kedua benar karena nilai x = 5 adalah bilangan pembuat nol (f(5) = 0), sehingga 5 disebut sebagai akar persamaan.

Membedakan penggunaan istilah akar dan faktor pada polinomial

Mengeksekusi Geometri dan Biaya

Setelah dimensi panjang rusuk diketahui dari akar polinomial, kita dapat menghitung luas dan biaya secara berurutan. Di tahap ini, kita telah berhasil membuka lapis terakhir brankas: akar yang kita temukan pada tahap sebelumnya bernilai $x = 4$, yang berarti panjang rusuk kemasan kardus pertama adalah $4\text{ m}$, dan kemasan kedua adalah $4 - 2 = 2\text{ m}$.

Karena kemasan kardus berbentuk kubus utuh tertutup, seluruh permukaannya tersusun atas tepat $6$ buah sisi persegi yang sama besar.

Diagram jaring-jaring kubus dengan 6 sisi persegi yang terarsir lengkap beserta label rumus L sama dengan 6 kali s kuadrat

Mari kita evaluasi pernyataan geometri pada soal:

  1. Luas Kemasan Pertama ($L_1$):

    $$L_1 = 6 \times s_1^2 = 6 \times (4)^2 = 6 \times 16 = 96\text{ m}^2$$

    Pernyataan pada Opsi C menyebut luasnya adalah $84\text{ m}^2$, sehingga Opsi C bernilai salah.

  2. Luas Kemasan Kedua ($L_2$):

    $$L_2 = 6 \times s_2^2 = 6 \times (2)^2 = 6 \times 4 = 24\text{ m}^2$$

    Pernyataan pada Opsi D mengklaim luasnya adalah $20\text{ m}^2$, sehingga Opsi D bernilai salah. Nilai $20\text{ m}^2$ sering kali menjadi jebakan karena siswa keliru memakai rumus kubus tanpa tutup ($5 \times s^2 = 5 \times 4 = 20\text{ m}^2$).

  3. Total Biaya Pembuatan Kardus: Luas bahan kardus total yang dibutuhkan adalah penjumlahan dari kedua luas kemasan:

    $$L_{\text{total}} = 96 + 24 = 120\text{ m}^2$$

    Dengan tarif kardus sebesar $\text{Rp}1.000,00$ per $\text{m}^2$, biaya keseluruhannya menjadi:

    $$\text{Biaya} = 120 \times 1.000 = \text{Rp}120.000,00$$

    Perhitungan ini membuktikan bahwa pernyataan pada Opsi E bernilai benar.