Analisis Grafik Fungsi Rasional

Menyederhanakan Pecahan Aljabar

Menyederhanakan bentuk fungsi yang rumit di awal akan sangat mempermudah analisis translasi dan titik potong.

Sering kali kita tergoda untuk langsung memproses fungsi yang diberikan apa adanya. Pada soal, fungsi pertama tampak cukup sederhana:

$$f(x) = x + \frac{6}{x}$$

Namun, fungsi kedua terlihat jauh lebih rumit dan memiliki bentuk pecahan campuran:

$$g(x) = x + \frac{10-2x}{x-2}$$

Jika kita membiarkannya dalam wujud pecahan ini, kita akan kesulitan melihat keterkaitan bentuk grafiknya dengan $f(x)$.

Ilustrasi seseorang merapikan benang kusut menjadi gulungan benang yang rapi dan teratur.

Sama seperti mengurai benang kusut menjadi gulungan rapi, kita bisa menyederhanakan pecahan $\frac{10-2x}{x-2}$ dengan memunculkan faktor penyebut $(x-2)$ pada pembilangnya:

$$10 - 2x = -2(x - 2) + 6$$

Sekarang, masukkan kembali pemfaktoran ini ke dalam pecahan:

$$\frac{10-2x}{x-2} = \frac{-2(x-2) + 6}{x-2} = \frac{-2(x-2)}{x-2} + \frac{6}{x-2} = -2 + \frac{6}{x-2}$$

Dengan demikian, bentuk fungsi $g(x)$ menjadi:

$$g(x) = x - 2 + \frac{6}{x-2}$$

Perhatikan polanya sekarang. Jika pada $f(x)$ polanya adalah $(\dots) + \frac{6}{(\dots)}$, maka pada $g(x)$ polanya juga persis sama, yaitu $(x-2) + \frac{6}{x-2}$. Dari pola inilah hubungan pergeseran kurva mulai terlihat terang benderang.

Misteri Translasi Horizontal

Penambahan nilai positif pada variabel $x$ (seperti $x+2$) akan menggeser grafik ke arah kiri, bukan ke kanan.

Banyak yang mengira bahwa jika variabel $x$ ditambah bilangan positif, grafiknya akan otomatis bergeser ke arah kanan karena sumbu $X$ positif berada di sebelah kanan. Anggapan ini adalah miskonsepsi umum.

Mari kita uji dengan memasukkan $(x + 2)$ ke dalam fungsi $g(x)$:

$$g(x+2) = (x+2) - 2 + \frac{6}{(x+2)-2} = x + \frac{6}{x}$$

Hasilnya tepat sama dengan $f(x)$. Karena $f(x) = g(x + 2)$, grafik $f(x)$ merupakan kurva $g(x)$ yang digeser sejauh 2 satuan ke kiri.

Dengan menggeser slider pada visualisasi di atas, kamu bisa membuktikan langsung bahwa parameter positif $c > 0$ menggeser seluruh kurva ke arah kiri.

Dari penurunan ini, kita dapat memastikan bahwa Opsi A benar. Sebaliknya, Opsi B salah karena menggeser 2 satuan ke kanan mengharuskan substitusi $(x - 2)$, yang menghasilkan $g(x-2) = x - 4 + \frac{6}{x-4}$, bukan $f(x)$.

Diberikan sebuah kurva fungsi $h(x)$. Kita ingin membentuk fungsi baru $p(x)$ yang merupakan hasil translasi grafik $h(x)$ sejauh 3 satuan ke kanan. Bentuk persamaan $p(x)$ yang benar adalah...

  • p(x) = h(x + 3)
  • p(x) = h(x - 3)
  • p(x) = h(x) + 3
  • p(x) = h(x) - 3

Jawaban: p(x) = h(x - 3)

Untuk menggeser kurva sejauh 3 satuan ke arah kanan, kita perlu mengganti variabel x dengan (x - 3), sesuai analogi memundurkan jam agar suatu nilai keluaran dicapai pada nilai x yang lebih besar. Opsi A keliru karena substitusi (x + 3) justru menggeser kurva ke kiri. Opsi C dan D keliru karena penambahan atau pengurangan di luar tanda fungsi merupakan translasi vertikal (ke atas/bawah), bukan translasi horizontal.

Translasi horizontal sejauh h satuan ke kanan diperoleh dengan mengganti x menjadi (x - h).

Berapa Banyak Titik Potongnya?

Untuk mengetahui persis jumlah titik potong dua kurva, visual bisa menipu, sehingga kita harus menyamakan persamaannya dan mengecek nilai Diskriminan.

Terkadang dua kurva lengkung terlihat berhimpitan atau justru tampak tidak bertemu saat kita hanya membuat sketsa kasar. Cara paling teruji untuk mengetahui banyaknya titik temu adalah dengan menyelesaikan persamaan persekutuan $f(x) = g(x)$ secara aljabar:

$$x + \frac{6}{x} = x - 2 + \frac{6}{x-2}$$

Kurangkan kedua ruas dengan $x$:

$$\frac{6}{x} = -2 + \frac{6}{x-2}$$

Kalikan kedua ruas dengan $x(x-2)$ untuk menghilangkan pecahan:

$$6(x-2) = -2x(x-2) + 6x$$

$$6x - 12 = -2x^2 + 4x + 6x$$

$$6x - 12 = -2x^2 + 10x$$

Pindahkan semua suku ke ruas kiri:

$$2x^2 - 4x - 12 = 0$$

Bagi kedua ruas dengan 2 agar lebih sederhana:

$$x^2 - 2x - 6 = 0$$

Grafik f x dan g x pada bidang Kartesius yang saling berpotongan di dua titik.

Banyaknya solusi riil dari persamaan kuadrat di atas ditentukan oleh nilai Diskriminan ($D = b^2 - 4ac$):

$$D = (-2)^2 - 4(1)(-6) = 4 + 24 = 28$$

Karena $D = 28 > 0$, persamaan ini memiliki tepat dua akar riil yang berbeda. Artinya, kedua kurva saling memotong di tepat dua titik. Temuan ini membuktikan bahwa Opsi C benar.

Dua fungsi kuadrat saling disamakan dan menghasilkan persamaan baru dengan nilai Diskriminan bernilai 0 ($D = 0$). Tentukan kebenaran dari pernyataan berikut!

  • Kedua kurva tidak saling bersentuhan sama sekali. — Salah
  • Kedua kurva saling menyinggung di tepat satu titik. — Benar

Pernyataan pertama salah karena D = 0 berarti persamaan persekutuan memiliki tepat satu akar riil kembar, yang artinya kedua kurva bersentuhan. Pernyataan kedua benar karena tepat satu solusi riil menandakan kedua kurva saling menyinggung di satu titik potong saja.

Nilai diskriminan D = 0 menunjukkan kurva saling menyinggung di tepat satu titik.