Menaklukkan Pecahan Aljabar Bertingkat

Aturan Emas: Coret Faktor, Bukan Suku

Pernah nggak kamu ngeliat pecahan aljabar yang rumit, terus bawaannya pengen langsung coret huruf atau angka yang sama di atas dan di bawah? Hati-hati, ini adalah salah satu jebakan paling umum di aljabar!

Mari kita mulai dari logika dasar pecahan angka biasa. Kalau kamu punya $\frac{15}{20}$, kamu nggak bisa mencoret angka $5$ dari $15$ ($10+5$) dan $20$ ($15+5$). Tapi, kalau kamu ubah jadi perkalian, yaitu $\frac{3 \times 5}{4 \times 5}$, angka $5$-nya bebas dicoret karena posisinya sebagai faktor (pengali).

Aturan emasnya cuma satu: kita hanya boleh mencoret elemen yang berupa 'faktor' (perkalian), BUKAN 'suku' (penjumlahan/pengurangan). Oleh karena itu, tujuan utama kita saat melihat pecahan aljabar adalah memfaktorkan (mengubah jadi perkalian) atas dan bawahnya terlebih dahulu.

Dari operasi penyederhanaan berikut, manakah yang diperbolehkan secara aljabar?

  • A. Mencoret y pada (y - 3) / y
  • B. Mencoret angka 4 pada (x + 4) / 4
  • C. Mencoret (x-1) pada 3(x-1) / (x(x-1))
  • D. Mencoret x^2 pada (x^2 + 2x) / x^2

Jawaban: C. Mencoret (x-1) pada 3(x-1) / (x(x-1))

Hanya opsi C yang mencoret bentuk perkalian utuh atau faktor. Pada opsi lain, elemen yang dicoret masih terikat dalam operasi penjumlahan atau pengurangan (berstatus sebagai suku).

Hanya faktor (elemen dalam perkalian) yang boleh dicoret dalam penyederhanaan pecahan aljabar, bukan suku (elemen dalam penjumlahan/pengurangan).

Merapikan Pembilang: Trik Mengeluarkan Desimal

Sekarang kita intip bagian atas (pembilang) dari soal kita: $0,25x + 1,25$.

Angka desimal sering bikin kita keder dan menyamarkan bentuk asli aljabar. Biar gampang, kita perlu cari cara untuk "mengeluarkan" angka desimal ini. Ingat, target kita adalah membuat bentuk penjumlahan ini jadi bentuk perkalian (memfaktorkan) supaya nanti bisa dicoret.

Kita bisa mencari Faktor Persekutuan Terbesar (FPB). Coba perhatikan hubungan antara $0,25$ dan $1,25$. Ternyata, $1,25$ adalah kelipatan dari $0,25$! Tepatnya, $0,25 \times 5 = 1,25$.

Dengan mengeluarkan $0,25$ sebagai pengali (faktor), kita sudah merapikan pembilang menjadi $0,25(x + 5)$. Simpan dulu hasil ini!

Jika kamu memiliki bentuk 0,5y + 1,75, bagaimana bentuk pemfaktorannya jika 0,5 ditarik keluar?

  • A. 0,5(y + 3)
  • B. 0,5(y + 3,5)
  • C. 0,5(y + 7)
  • D. 0,5y(1 + 3,5)

Jawaban: B. 0,5(y + 3,5)

Kita bisa menarik keluar 0,5 karena 1,75 dibagi 0,5 adalah 3,5. Jadi bentuk faktornya adalah 0,5(y + 3,5).

Memfaktorkan angka desimal sama seperti memfaktorkan bilangan bulat, yaitu mencari kelipatan bersama yang bisa ditarik keluar.

Membedah Penyebut: Pemfaktoran Kuadrat

Giliran bagian bawah (penyebut): $x^2 - x - 30$. Ini adalah bentuk kuadrat. Memfaktorkan bentuk $x^2 + bx + c$ itu ibarat main tebak angka ajaib.

Kita harus mencari dua angka yang kalau:

  1. Dikalikan hasilnya $c$ (dalam hal ini $-30$).

  2. Dijumlahkan hasilnya $b$ (koefisien dari $x$, yaitu $-1$).

Karena hasil kalinya negatif ($-30$), pasti satu angka positif dan satu angka negatif. Karena hasil tambahnya juga negatif ($-1$), maka angka yang lebih besar haruslah yang negatif.

Mari kita daftar faktor dari $30$:

Agar jumlahnya jadi $-1$, kita pasangkan $-6$ dan $+5$. Jadi, bentuk pemfaktorannya adalah $(x - 6)(x + 5)$.

Manakah bentuk pemfaktoran yang benar untuk x^2 - 2x - 8?

  • A. (x - 2)(x + 4)
  • B. (x + 2)(x + 4)
  • C. (x + 2)(x - 4)
  • D. (x - 2)(x - 4)

Jawaban: C. (x + 2)(x - 4)

Kita mencari dua angka yang dikali hasil -8 dan dijumlah hasil -2. Angka tersebut adalah -4 dan +2. Jadi faktornya (x + 2)(x - 4).

Untuk memfaktorkan x^2 + bx + c, cari dua angka yang jika dikalikan hasilnya c dan jika dijumlahkan hasilnya b.