Membongkar Rahasia Titik Pojok

Membangun Pagar Lapangan

Sebuah titik berada di dalam daerah penyelesaian jika titik tersebut memenuhi semua pertidaksamaan batas. Bayangkan pertidaksamaan linear sebagai deretan pagar yang membatasi sebuah lapangan bermain. Setiap pagar membagi area menjadi dua sisi: sisi yang boleh dimasuki dan sisi yang dilarang. Daerah aman tempat semua pagar dipatuhi bersamaan disebut daerah penyelesaian.

Bagaimana kita tahu apakah suatu posisi berada di dalam lapangan aman? Caranya adalah dengan menguji koordinat titik tersebut ke setiap pagar pertidaksamaan satu per satu. Jika melanggar satu pagar saja, titik itu langsung gugur dan berada di luar lapangan.

Simulasi di atas memperlihatkan bagaimana sebuah titik diuji terhadap pagar-pagar pembatas. Perhatikan bahwa saat kita menguji titik $(1, 2)$:

• $x \ge 0 \implies 1 \ge 0$ (Terpenuhi)

• $y \ge 0 \implies 2 \ge 0$ (Terpenuhi)

• $3x + y \le 9 \implies 3(1) + 2 = 5 \le 9$ (Terpenuhi)

• $x + 3y \le 11 \implies 1 + 3(2) = 7 \le 11$ (Terpenuhi)

Karena semua pagar aman, titik $(1, 2)$ terbukti berada di dalam daerah penyelesaian. Fakta ini membuktikan bahwa Opsi C benar.

Mencari Pagar yang Hilang

Koordinat titik potong yang memberikan nilai optimum dapat digunakan untuk mencari parameter garis batas yang belum diketahui. Jika kita ingin mencari skor tertinggi dari suatu fungsi tujuan, skor tersebut tidak berada sembarangan di tengah lapangan, melainkan selalu tercapai di salah satu titik pojok (sudut pertemuan antar-pagar).

Pada soal, kita tahu bahwa fungsi tujuan $f(x, y) = x + y$ memiliki nilai maksimum sebesar $5$. Garis skor $x + y = 5$ ini akan menyentuh batas lapangan terluar, yaitu pada perpotongan dengan garis pagar $3x + y = 9$. Kita dapat menemukan titik sudut ini secara bertahap menggunakan eliminasi:

1. Buat sistem persamaan dari kedua garis:

   $$\begin{cases} 3x + y = 9 \\ x + y = 5 \end{cases}$$

2. Kurangkan persamaan pertama dengan persamaan kedua:

   $$(3x + y) - (x + y) = 9 - 5 \implies 2x = 4 \implies x = 2$$

3. Substitusikan nilai $x = 2$ ke dalam $x + y = 5$:

   $$2 + y = 5 \implies y = 3$$

Dari langkah di atas, kita mendapatkan sudut lapangan tempat nilai maksimum terjadi, yaitu koordinat $(2, 3)$. Hasil ini membuktikan secara langsung bahwa Opsi B benar.

Diagram di atas memperlihatkan garis $3x + y = 9$ dan garis fungsi tujuan $x + y = 5$ yang bertemu tepat di titik $(2, 3)$. Karena pagar pembatas kedua $x + 3y \le c$ juga harus mengunci sudut ini agar menjadi batas lapangan yang sah, titik $(2, 3)$ harus terletak pada garis $x + 3y = c$:

$$2 + 3(3) = c \implies 2 + 9 = c \implies c = 11$$

Mengecek Semua Sudut Lapangan

Nilai optimum fungsi linear selalu terjadi di titik pojok, dan semua titik pojok harus dievaluasi untuk memastikannya. Metode ini dikenal sebagai Metode Titik Pojok. Prinsip dasarnya sederhana: daripada menguji jutaan titik di dalam lapangan bermain, kita cukup mengumpulkan semua koordinat sudut lapangan dan menghitung skor fungsinya satu per satu.

Daerah penyelesaian pada soal dibatasi oleh $x \ge 0$, $y \ge 0$, garis $3x + y = 9$, dan garis $x + 3y = 11$. Daerah ini memiliki empat titik pojok:

• Sudut asal di perpotongan sumbu: $(0, 0)$

• Sudut potong garis $3x + y = 9$ dengan sumbu-$x$: $(3, 0)$

• Sudut perpotongan kedua garis batas: $(2, 3)$

• Sudut potong garis $x + 3y = 11$ dengan sumbu-$y$: $\left(0, \frac{11}{3}\right)$

Sekarang, kita uji fungsi tujuan baru $g(x, y) = 3x + y$ pada keempat titik sudut tersebut secara runtut:

• Pada $(0, 0) \implies g(0, 0) = 3(0) + 0 = 0$

• Pada $(3, 0) \implies g(3, 0) = 3(3) + 0 = 9$

• Pada $(2, 3) \implies g(2, 3) = 3(2) + 3 = 9$

• Pada $\left(0, \frac{11}{3}\right) \implies g\left(0, \frac{11}{3}\right) = 3(0) + \frac{11}{3} \approx 3{,}67$

Dari perbandingan keempat hasil di atas, skor tertinggi yang muncul adalah $9$ (tercapai di sepanjang ruas antara titik $(3, 0)$ dan $(2, 3)$). Evaluasi lengkap ini membuktikan bahwa Opsi D benar.