Anatomi Perkalian Matriks: Baris Temu Kolom
Aturan Main Baris dan Kolom
Perkalian dua matriks selalu memasangkan elemen mendatar dari matriks pertama dengan elemen menurun dari matriks kedua. Saat berhadapan dengan operasi matriks, keraguan yang sering muncul adalah: mana yang harus dikalikan dan mana yang harus dijumlahkan? Kuncinya terletak pada arah pergerakan kedua tangan kita.
Bayangkan kaidah 'sapu dan pel': tangan kiri menyapu secara mendatar (sepanjang baris pada matriks pertama, dari kiri ke kanan), sementara tangan kanan mengepel secara menurun (sepanjang kolom pada matriks kedua, dari atas ke bawah). Setiap kali kedua tangan bergerak bersamaan dan singgah di sepasang elemen, kedua elemen tersebut dikali. Setelah semua pasangan selesai dihitung, seluruh hasil perkalian tersebut ditambah menjadi satu bilangan tunggal.
Mengeksekusi Langkah Pertama
Mengalikan matriks baris dengan matriks persegi dilakukan dengan memasangkan baris ke setiap kolom secara bergantian. Pada soal, kita menghadapi perkalian antara matriks baris ordo $1 \times 2$ yaitu $\begin{pmatrix} x & 1 \end{pmatrix}$ dan matriks persegi berordo $2 \times 2$ yaitu $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$. Matriks persegi ini memiliki dua jalur kolom yang harus kita sapu dan pel satu per satu.
Pertama, pasangkan baris $\begin{pmatrix} x & 1 \end{pmatrix}$ dengan Kolom 1 $\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$. Sesuai kaidah, elemen pertama dikalikan elemen pertama ($x \cdot 2$), lalu ditambah hasil kali elemen kedua ($1 \cdot (-1)$). Dari sini kita memperoleh ekspresi aljabar pertama:
$$(x \cdot 2) + (1 \cdot (-1)) = 2x - 1$$
Kedua, gunakan kembali baris yang sama $\begin{pmatrix} x & 1 \end{pmatrix}$ dan pasangkan dengan Kolom 2 $\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$. Kalikan elemen yang bersesuaian lalu jumlahkan:
$$(x \cdot (-1)) + (1 \cdot 3) = -x + 3$$
Hasil penggabungan dari kedua kolom ini membentuk matriks baris baru berordo $1 \times 2$, yaitu $\begin{pmatrix} 2x - 1 & -x + 3 \end{pmatrix}$.
Rantai Perkalian Matriks
Sifat asosiatif memungkinkan kita meneruskan hasil perkalian pertama dengan matriks terakhir untuk membentuk sebuah persamaan aljabar tunggal. Karena urutan pengelompokan operasi tidak mengubah hasil akhir, kita dapat langsung mengalikan matriks baris yang baru kita dapatkan, yaitu $\begin{pmatrix} 2x - 1 & -x + 3 \end{pmatrix}$, dengan matriks kolom terakhir pada soal, yaitu $\begin{pmatrix} x \\ 1 \end{pmatrix}$.
Kaidah sapu dan pel kembali kita gunakan:
Pasangkan elemen pertama baris dengan elemen pertama kolom: $(2x - 1) \cdot x = 2x^2 - x$.
Pasangkan elemen kedua baris dengan elemen kedua kolom: $(-x + 3) \cdot 1 = -x + 3$.
Jumlahkan kedua hasil tersebut:
$$(2x^2 - x) + (-x + 3) = 2x^2 - 2x + 3$$
Karena soal menyatakan hasil perkalian rantai tiga matriks ini bernilai skalar $15$, maka kita peroleh persamaan aljabar:
$$2x^2 - 2x + 3 = 15$$
Pola 'baris kali kolom' ini adalah aturan universal yang dipakai di semua operasi perkalian matriks, baik dalam transformasi geometri maupun penyelesaian sistem persamaan linear.
Diketahui matriks baris $\begin{pmatrix} a & 2 \end{pmatrix}$ dikalikan dengan matriks kolom $\begin{pmatrix} a \\ 3 \end{pmatrix}$ dan menghasilkan matriks skalar $\begin{pmatrix} 10 \end{pmatrix}$. Bentuk persamaan aljabar yang benar adalah ....
- a^2 + 6 = 10
- a^2 × 6 = 10
- 2a + 6 = 10
- 2a^2 = 10
Jawaban: a^2 + 6 = 10
Berdasarkan kaidah baris kali kolom, elemen mendatar pertama dikalikan dengan elemen menurun pertama ($a \times a = a^2$), lalu elemen kedua dikalikan dengan elemen kedua ($2 \times 3 = 6$). Hasil perkalian antarpasangan kemudian dijumlahkan, sehingga menghasilkan persamaan $a^2 + 6 = 10$ (Opsi A). Opsi B keliru karena mengalikan hasil antarelemen alih-alih menjumlahkannya. Opsi C keliru menjumlahkan $a + a = 2a$, dan Opsi D keliru melakukan perkalian silang.
Siswa dapat menyusun persamaan aljabar dari hasil perkalian matriks baris dan matriks kolom.