Akar Aljabar: Relasi Arah dan Syarat Pembagian
Membalik Arah di Garis Bilangan
Selisih $(b-a)$ memiliki besar yang sama dengan $(a-b)$ namun arah berlawanan, setara dengan faktor pengali $-1$.
Bayangkan dua titik pada sebuah garis bilangan: titik $2$ dan titik $5$. Jarak tempuh dari titik $2$ maju menuju titik $5$ adalah $5 - 2 = +3$. Sebaliknya, jika kita berbalik dan melangkah dari titik $5$ mundur menuju titik $2$, perubahannya adalah $2 - 5 = -3$. Panjang langkahnya sama persis, yaitu $3$ satuan, tetapi arahnya berbalik $180^\circ$.
Hubungan geometri ini berlaku umum untuk setiap pasangan variabel aljabar:
$$(b - a) = -1 \cdot (a - b)$$
Ketika urutan pengurangan dibalik, nilainya tidak lenyap atau berubah menjadi angka lain, melainkan berubah tanda menjadi negatif dari bentuk aslinya.
Efek Domino Tanda Negatif
Perkalian bilangan atau faktor negatif dalam jumlah ganjil akan selalu menghasilkan tanda negatif.
Setelah melakukan isolasi variabel pada persamaan soal, kita memperoleh bentuk pecahan untuk $y$:
$$y = \frac{(q - p)(s - r)(u - t)}{(p - q)(r - s)(t - u)}$$
Dengan prinsip pembalikan tanda dari halaman sebelumnya, tiap faktor di pembilang dapat diganti: $(q - p) = -1 \cdot (p - q)$, $(s - r) = -1 \cdot (r - s)$, dan $(u - t) = -1 \cdot (t - u)$. Substitusi ini memunculkan tiga buah faktor $-1$ berturut-turut pada pembilang:
$$((-1) \cdot (-1) \cdot (-1)) \cdot (p - q)(r - s)(t - u)$$
Aturan paritas tanda menentukan hasil akhirnya. Mengalikan dua tanda minus menghasilkan nilai positif, yaitu $(-1) \times (-1) = +1$. Ketika hasil positif ini kembali dikalikan dengan faktor minus ketiga, hasilnya berbalik menjadi $-1$.
Kenapa Syarat Urutan Penting?
Pencoretan faktor yang identik pada pembilang dan penyebut hanya sah secara matematis jika faktor tersebut terjamin bukan nol.
Setelah faktor $-1$ dikeluarkan, ekspresi kita menjadi:
$$y = \frac{-1 \cdot (p - q)(r - s)(t - u)}{(p - q)(r - s)(t - u)}$$
Melihat faktor-faktor yang sama di atas dan bawah, godaan terbesarnya adalah langsung mencoret semuanya begitu saja. Namun dalam aljabar, pembagian dengan angka nol adalah operasi yang terlarang karena menghasilkan nilai yang tak terdefinisi. Kita tidak boleh mencoret faktor $(p - q)$ jika ada kemungkinan $p - q = 0$ (atau $p = q$).
Di sinilah premis soal $p < q < r < s < t < u$ memegang peran kunci. Tanda pertidaksamaan ketat menjamin bahwa nilai setiap variabel berurutan dan tidak ada dua variabel yang bernilai sama. Karena $p < q$, selisih $p - q$ tidak mungkin bernilai $0$. Hal yang sama berlaku untuk $r - s \neq 0$ dan $t - u \neq 0$.
Karena penyebut terjamin bukan nol, pembatalan faktor menjadi sah dan menyisakan nilai $y = -1$, yang membuktikan kebenaran Opsi A. Di sisi lain, Opsi B ($-2$) keliru karena tidak ada operasi pengurangan sisa seperti $-1 - 1$ dalam proses penyederhanaan perkalian pecahan ini.
Dalam sebuah penyederhanaan aljabar, didapatkan persamaan x(a - b) = 5(a - b). Kapan kita boleh menyimpulkan secara pasti bahwa nilai x = 5?
- Selalu boleh tanpa perlu syarat apa pun pada situasi aljabar apa pun.
- Hanya jika diketahui syarat tambahan bahwa nilai a tidak sama dengan b.
- Hanya jika diketahui nilai a dan b adalah bilangan asli yang bernilai positif.
- Hanya saat syarat menyatakan bahwa variabel a bernilai sama persis dengan b.
Jawaban: Hanya jika diketahui syarat tambahan bahwa nilai a tidak sama dengan b.
Menyimpulkan x = 5 memerlukan pembagian kedua ruas dengan faktor (a - b). Pembagian ini hanya sah secara matematis jika faktor pembagi tidak bernilai nol, yaitu a tidak sama dengan b. Jika a = b, bentuk tersebut menjadi x(0) = 5(0) yang bernilai 0 = 0 dan berlaku untuk semua nilai x (tidak unik bernilai 5).
Pemahaman bahwa pembatalan faktor aljabar mensyaratkan pembagi tidak bernilai nol.