Bongkar Luas Poligon: Jurus Jam Pasir & Dekomposisi

Menemukan Segmen Tersembunyi

Panjang bagian yang tumpang tindih (overlap) bisa dicari dari jumlah kedua segmen dikurangi total panjang wadahnya.

Bayangkan sisi bawah $AB$ sepanjang $10$ adalah sebuah wadah lurus. Di dalam wadah ini terdapat dua segmen: $AF$ sepanjang $6$ yang menempel dari ujung kiri, dan $BE$ sepanjang $6$ yang menempel dari ujung kanan. Jika dijumlahkan biasa, total panjang kedua segmen tersebut adalah $6 + 6 = 12$, padahal panjang wadahnya hanya $10$. Selisih lebih sebesar $2$ ini terjadi karena kedua segmen saling menumpuk di bagian tengah.

Bagian yang saling bertumpuk inilah yang dinamakan Segmen Overlap $EF$. Secara aljabar, kita cukup menghitung:

Melihat Bangun Lewat Dekomposisi

Luas poligon yang bentuknya aneh jauh lebih gampang dicari dengan mengurangkan luas bangun utuh oleh bangun pemotongnya.

Bangun $AEGD$ berbentuk segi empat tak beraturan. Jika kita langsung mencari sisi miring seperti $ED$ atau $DG$ menggunakan teorema Pythagoras, langkah hitungan akan menjadi panjang dan kita tetap kesulitan menentukan tingginya secara langsung. Sebaliknya, teknik Dekomposisi Luas memandang bangun rumit bukan sebagai rakitan potongan-potongan kecil, melainkan sebagai bangun besar sederhana yang kehilangan sebagian areanya.

Perhatikan bahwa segiempat $AEGD$ sebenarnya adalah segitiga siku-siku besar $\vartriangle AFD$ yang bagian dasarnya terpotong oleh segitiga kecil $\vartriangle EFG$:

Luas segitiga utuh $\vartriangle AFD$ sangat mudah dihitung karena memiliki alas $AF = 6$ dan tinggi $AD = 6$:

Jam Pasir dan Proporsi

Dua segitiga yang dibentuk dari persilangan dua garis di antara dua garis sejajar selalu sebangun, dan perbandingan tingginya persis sama dengan perbandingan alasnya.

Pada gambar soal, garis atas $DC$ sejajar dengan garis bawah $EF$ karena keduanya berada pada sisi berlawanan dari persegi panjang. Saat garis $EC$ dan $FD$ saling bersilangan di titik $G$, terbentuklah konfigurasi Jam Pasir Geometri antara $\vartriangle DCG$ di atas dan $\vartriangle EFG$ di bawah.

Konfigurasi ini bekerja persis seperti analogi Kamera Lubang Jarum:

• Garis atas $DC$ berperan sebagai benda asli di luar kamera.

• Titik potong $G$ bertindak sebagai lubang jarum tempat berkas garis saling menyilang.

• Garis bawah $EF$ berperan sebagai bayangan proyeksi pada layar sensor.

Karena $DC = 10$ dan $EF = 2$, benda asli berukuran $5$ kali lebih besar dari bayangannya:

Pada segitiga yang sebangun, rasio ini berlaku untuk seluruh dimensi linier, termasuk garis tinggi masing-masing segitiga dari titik $G$. Artinya, tinggi segitiga atas pasti $5$ kali lebih panjang daripada tinggi segitiga bawah.