Deret Teleskopik: Menemukan Pola dan Akar Aljabarnya

Membaca Pola: Dari Angka ke Suku ke-n

Seringkali kita merasa ngeri saat melihat deretan pecahan yang panjang. Padahal, trik pertamanya sangat sederhana: melihat pola di balik posisi. Rumus suku ke-$n$ ($U_n$) bukanlah hafalan mati, melainkan cara kita menerjemahkan nomor urutan menjadi bentuk matematika.

Perhatikan deret dari soal kita: $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots$

Fokus saja ke bagian penyebutnya:

• Suku ke-1 $\rightarrow$ penyebutnya $1 \times 2$ (mulai dari 1, kalikan dengan $1+1$)

• Suku ke-2 $\rightarrow$ penyebutnya $2 \times 3$ (mulai dari 2, kalikan dengan $2+1$)

• Suku ke-3 $\rightarrow$ penyebutnya $3 \times 4$ (mulai dari 3, kalikan dengan $3+1$)

Jika kita berada di posisi ke-$n$, maka penyebutnya akan mulai dari $n$, kemudian dikalikan dengan bilangan persis setelahnya yaitu $n+1$. Dengan begitu, bentuk umum untuk suku ke-$n$ adalah: $U_n = \frac{1}{n(n+1)}$

Bagaimana dengan variasi deret lain? Waktu kamu mengerjakan diagnosis awal, kamu sempat bertanya: Kalau bentuknya dimodifikasi jadi $\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \dots$, bagaimana mencarinya? Kita bedah lagi: Angka pertama di penyebut adalah $1, 3, 5, \dots$ Ini adalah barisan bilangan ganjil yang polanya $2n-1$. Angka kedua selalu lebih besar 2 dari angka pertama. Maka faktor keduanya adalah $(2n-1) + 2 = 2n+1$. Hasil akhirnya? $U_n = \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$. Semuanya berasal dari pola!

Motivasi Dekomposisi Parsial

Sekarang kita sudah punya rumus umum $U_n = \frac{1}{n(n+1)}$. Masalahnya, menjumlahkan pecahan dalam bentuk perkalian di penyebut itu mimpi buruk! Coba saja samakan penyebut dari puluhan suku, pasti sangat rumit.

Agar bisa dijumlahkan dengan mudah, kita butuh "membongkar" perkalian itu menjadi bentuk pengurangan dua pecahan sederhana. Proses ini disebut dekomposisi pecahan parsial.

Secara aljabar, kebenaran dekomposisi ini bisa dibuktikan dari belakang (menyamakan penyebut): $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{(n+1) - n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)}$

Inilah kunci dari soal-soal deret pecahan. Dengan mengubah perkalian di bawah menjadi pengurangan dua pecahan yang terpisah, kita membuka jalan untuk saling "membunuh" suku-suku tersebut saat dijumlahkan!

Efek Domino: Deret Teleskopik

Apa yang terjadi saat kita menerapkan dekomposisi pada seluruh deret? Mari kita jabarkan dari suku ke-1 sampai ke-99 dengan bentuk selisih yang baru saja kita temukan.

Deret asli: $S = (\frac{1}{1 \times 2}) + (\frac{1}{2 \times 3}) + \dots + (\frac{1}{99 \times 100})$

Berubah menjadi: $S = (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{99} - \frac{1}{100})$

Gambar: User:FML, CC BY-SA 2.5 — Wikimedia Commons

Perhatikan baik-baik. Suku negatif dari satu kurung akan bertemu dengan suku positif yang sama persis dari kurung berikutnya!

• $-\frac{1}{2}$ bertemu $+\frac{1}{2}$ menjadi $0$

• $-\frac{1}{3}$ bertemu $+\frac{1}{3}$ menjadi $0$

• ... dan ini terus menjalar sampai ujung!

Hasil akhirnya, dari puluhan suku yang rumit, kita hanya perlu menghitung: $S = 1 - \frac{1}{100}$ Betapa cantiknya matematika!