Membongkar Persamaan Pecahan Bertumpuk
Awas Terkecoh Posisi Penyebut
Di soal tadi, saat kamu lihat bentuk $\frac{3}{x+y}$, wajar kalau awalnya merasa pusing. Banyak yang salah kaprah dan menganggap angka di bawah garis pecahan bisa langsung dinaikkan ke atas kalau dikalikan. Padahal, $\frac{1}{A}$ itu berbeda jauh nilainya dengan $A$.
Coba bayangkan: Kalau kamu punya 3 dikali $A$, hasilnya jelas $3A$. Tapi, kalau soalnya $3 \cdot \frac{1}{A}$, bilangan utuh (3) hanya mengalikan bagian atasnya (pembilang). Angka 3 bisa dibayangkan sebagai $\frac{3}{1}$.
Maka anatomi perkalian pecahannya:
Mana bentuk yang setara dengan $5 \cdot \frac{1}{a}$?
- A. $5a$
- B. $\frac{1}{5a}$
- C. $\frac{5}{a}$
- D. $\frac{a}{5}$
Jawaban: C. $\frac{5}{a}$
Bilangan utuh 5 (atau 5/1) hanya dikalikan dengan pembilang 1, sedangkan penyebut a tetap di bawah. Hasilnya 5/a.
Bilangan bulat yang dikalikan dengan pecahan aljabar hanya mengalikan bagian pembilang (atas).
Menyatukan Utuh dan Pecahan
Pas lagi ngitung, kadang kita ketemu operasi yang bikin ragu, kayak bilangan bulat ketemu pecahan: $4 + \left(-\frac{5}{3}\right)$.
Ingat bahwa tanda positif ketemu negatif jadinya pengurangan. Terus, karena bilangan bulat nggak bisa langsung dikurang sama pecahan, kita harus 'menerjemahkan' si bilangan utuh pakai bahasa yang sama, yaitu menyamakan penyebutnya.
Angka $4$ utuh itu setara dengan $\frac{4}{1}$. Biar penyebutnya jadi 3, kita kali pembilang dan penyebut dengan 3:
Sekarang, hitungannya udah satu bahasa (sama-sama pertigaan):
Berapa hasil dari $2 + \left(-\frac{3}{4}\right)$?
- A. $\frac{2}{4}$
- B. $\frac{5}{4}$
- C. $\frac{11}{4}$
- D. $\frac{-1}{4}$
Jawaban: B. $\frac{5}{4}$
2 setara dengan 8/4. Maka 8/4 - 3/4 = 5/4.
Untuk menjumlahkan bilangan bulat dan pecahan, ubah bilangan bulat menjadi pecahan dengan penyebut yang sama.
Memakai 'Topeng' Aljabar
Kalau kamu ngerasa soal tadi bentuknya ruwet banget karena ada pecahan dengan variabel di bawah, instingmu bener! Memang susah kalau diselesaikan mentah-mentah.
Di sinilah konsep substitusi variabel pemisalan (dummy variable) masuk. Kita sengaja "menyembunyikan" kerumitan itu sementara waktu agar otak kita nggak stres duluan.
Kita ambil bongkahan ruwet $\frac{1}{x+y}$ dan kita masukkan ke kotak berlabel $a$. Lalu bongkahan $\frac{1}{x-y}$ kita masukin ke kotak $b$.
Lihat apa yang terjadi pada persamaan asli kita: $\frac{3}{x+y} + \frac{1}{x-y} = 2 \quad \Rightarrow \quad 3\left(\frac{1}{x+y}\right) + 1\left(\frac{1}{x-y}\right) = 2$ Berubah jadi sangat rapi: $3a + b = 2$.