Menemukan Ukuran Lewat Garis Bantu

Rahasia di Balik Jari-Jari

Jari-jari lingkaran panjangnya selalu sama ke arah tepi mana pun, termasuk ke pojok bangun lain yang bersentuhan dengannya.

Banyak orang terkecoh dan hanya menganggap jari-jari sebagai garis mendatar atau tegak lurus saja. Padahal, jari-jari adalah jarak lurus dari titik pusat ke titik mana pun di batas tepi lingkaran.

Pada soal cawan petri ini, kita dapat menarik seutas "tali" dari Titik Pusat langsung menuju sudut papan preparat yang menempel di busur lingkaran. Garis ini merupakan jari-jari lingkaran dengan panjang $5\sqrt{2}\text{ cm}$, ke sudut miring mana pun ia diarahkan.

Membentuk Segitiga Siku-Siku

Garis bantu dari pusat lingkaran ke sudut persegi panjang akan membentuk segitiga siku-siku yang menghubungkan kedua bangun.

Sering kali kita bingung mencari ukuran sebuah papan preparat persegi panjang di dalam lengkungan karena menganggap kedua bangun itu terpisah. Kuncinya adalah menarik sebuah garis bantu dari titik pusat lingkaran ke pojok atas papan yang bersentuhan dengan tepi cawan.

Ketika garis bantu ditarik, perhatikan hubungan geometris yang terbentuk:

Karena bidang datar persegi panjang membentuk sudut tegak lurus terhadap garis dasar diameter cawan petri, terbentuklah segitiga siku-siku yang menghubungkan variabel sisi papan ($a$ dan $2a$) langsung dengan panjang jari-jari lingkaran.

Sebuah persegi panjang diletakkan di dalam seperempat lingkaran dengan salah satu sudutnya berada di titik pusat lingkaran. Jika ditarik garis lurus dari titik pusat menuju sudut persegi panjang yang tepat menyentuh lengkungan lingkaran, garis tersebut akan berfungsi sebagai...

  • Sisi tegak dari persegi panjang tersebut.
  • Sisi miring dari segitiga siku-siku yang dibentuk oleh sisi-sisi persegi panjang.
  • Keliling dari persegi panjang di dalam lingkaran.
  • Diameter penuh dari lingkaran tersebut.

Jawaban: Sisi miring dari segitiga siku-siku yang dibentuk oleh sisi-sisi persegi panjang.

Garis lurus dari titik pusat lingkaran ke lengkungan tepi adalah jari-jari. Karena sisi mendatar dan tegak persegi panjang saling tegak lurus, garis jari-jari ke titik sudut tersebut menjadi sisi miring (hipotenusa) pada segitiga siku-siku yang terbentuk. Opsi A keliru karena sisi tegak adalah batas tinggi bangun. Opsi C keliru karena keliling adalah total panjang pembatas, bukan satu segmen garis. Opsi D keliru karena garis hanya menghubungkan pusat ke tepi, bukan memotong lingkaran penuh ujung ke ujung.

Jari-jari yang ditarik ke sudut persegi panjang berperan sebagai sisi miring segitiga siku-siku.

Mengeksekusi Pythagoras

Dengan Pythagoras, panjang sisi-sisi yang tidak diketahui bisa dicari dengan memfaktorkan persamaan kuadrat.

Setelah segitiga siku-siku terbentuk dengan sisi alas $a$, sisi tegak $2a$, dan sisi miring $5\sqrt{2}$, kita bisa menerapkan teorema Pythagoras: kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi tegak dan alasnya.

Diagram aljabar penurunan rumus Pythagoras menunjukkan pemangkatan 2a ² menjadi 4a² dan penyelesaian nilai a.

Perhatikan alur perhitungannya secara saksama:

$$(\text{sisi miring})^2 = (\text{alas})^2 + (\text{tegak})^2$$

$$(5\sqrt{2})^2 = a^2 + (2a)^2$$

Menghitung sisi miring:

$$(5\sqrt{2})^2 = 5^2 \times 2 = 25 \times 2 = 50$$

Menjumlahkan kedua sisi siku-siku:

$$a^2 + 4a^2 = 5a^2$$

Maka kita peroleh:

$$50 = 5a^2$$

$$a^2 = \frac{50}{5} = 10$$

$$a = \sqrt{10}$$

Dalam sebuah perhitungan geometri dengan teorema Pythagoras, salah satu sisi tegak segitiga siku-siku memiliki panjang $3x$. Bentuk kuadrat dari panjang sisi tegak tersebut adalah...

  • 3x^2
  • 6x^2
  • 9x^2
  • 9x

Jawaban: 9x^2

Sesuai sifat pemangkatan aljabar $(k \cdot x)^2 = k^2 \cdot x^2$, maka $(3x)^2 = 3^2 \cdot x^2 = 9x^2$. Opsi A salah karena lupa mengkuadratkan koefisien 3. Opsi B salah karena mengalikan koefisien dengan angka 2 alih-alih memangkatkannya. Opsi D salah karena variabel x tidak ikut dipangkatkan.

Mengkuadratkan suku yang memiliki koefisien dan variabel.