Membongkar Simbol Operasi Biner

Simbol $*$ Bukan Sihir, Cuma Mesin

Waktu pertama kali ngerjain soal ini, kamu mungkin sempat bingung ngelihat simbol $*$ (bintang). Tenang aja, itu wajar banget!

Simbol seperti $*$, $\Delta$, atau $\oplus$ dalam soal-soal seperti ini bukanlah operasi matematika baku seperti tambah ($+$) atau kali ($\times$). Simbol tersebut hanyalah 'singkatan' atau sandi dari pembuat soal untuk menyuruh kita memasukkan nilai ke dalam rumus yang udah mereka siapin.

Bayangkan operasi $a * b$ sebagai sebuah mesin pemroses.

Jadi, ketika soal bilang $a * 3 = 15$, itu artinya: "Biarkan $a$ tetap menjadi $a$, dan ganti semua huruf $b$ di dalam rumus tersebut dengan angka $3$."

Jika didefinisikan sebuah aturan baru: $x \oplus y = x^2 - y$, berapakah nilai dari $4 \oplus 5$?

  • A. 9
  • B. 11
  • C. 16
  • D. 20

Jawaban: B. 11

Angka 4 masuk ke posisi $x$ (kiri), dan 5 masuk ke posisi $y$ (kanan). Jadi, substitusikan: $4^2 - 5 = 16 - 5 = 11$.

Operasi biner buatan adalah aturan substitusi langsung dari nilai kiri dan kanan ke variabel rumus yang bersesuaian.

Sederhanakan Sebelum Berperang

Kalau kita langsung masukin angka $3$ ke rumus $\frac{(a+b)^2 - 2ab}{a-b}$, bentuknya bakal jadi panjang banget dan rawan bikin kita salah hitung.

Mari kita bedah bagian pembilang (atas) dari rumusnya: $(a+b)^2 - 2ab$. Ingat kembali identitas aljabar dasar! Jika kita ekspansi bagian kuadratnya: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Sekarang masukkan kembali ke pembilang asli: $a^2 + 2ab + b^2 - 2ab$

Perhatikan bahwa suku $+2ab$ dan $-2ab$ saling mengurangi dan bernilai nol! Hasil akhirnya menyisakan bentuk yang sangat bersih, yaitu $a^2 + b^2$. Dengan begini, mesin definisi operasi kita sekarang jauh lebih ringkas: $a * b = \frac{a^2 + b^2}{a - b}$

Bentuk paling sederhana dari pecahan aljabar $\frac{(x-y)^2 + 2xy}{x^2+y^2}$ adalah...

  • A. 1
  • B. 2
  • C. $x+y$
  • D. $x-y$

Jawaban: A. 1

Uraikan pembilangnya: $(x^2 - 2xy + y^2) + 2xy$. Suku $-2xy$ dan $+2xy$ akan habis, menyisakan $x^2 + y^2$. Pecahannya menjadi $\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}$, yang jika dibagi hasilnya adalah $1$.

Ekspansi dan penyederhanaan aljabar dasar sebelum substitusi dapat mengurangi kerumitan hitungan secara drastis.

Merangkai Persamaan Kuadrat

Sekarang kita udah punya senjata (rumus) yang ringkas: $a * b = \frac{a^2 + b^2}{a - b}$.

Tugas selanjutnya adalah menerjemahkan clue dari soal, yaitu $a * 3 = 15$. Ini adalah jembatan yang mengubah "bahasa simbol buatan" tadi menjadi persamaan aljabar matematika yang standar dan bisa kita selesaikan.

Mari kita substitusi $b=3$ ke rumus ringkas kita dan samakan hasilnya dengan $15$:

$\frac{a^2 + 3^2}{a - 3} = 15$

$\frac{a^2 + 9}{a - 3} = 15$

Untuk menyelesaikan persamaan pecahan ini, kalikan kedua ruas dengan $(a-3)$ untuk menghilangkan pembaginya:

$a^2 + 9 = 15(a - 3)$

Lakukan distribusi (kali pelangi) di ruas kanan: $a^2 + 9 = 15a - 45$

Pindahkan semua suku ke satu sisi agar ruas kanannya menjadi nol. Kita akan mendapatkan sebuah persamaan kuadrat: $a^2 - 15a + 54 = 0$