Membongkar Deret Bertingkat Lapis Demi Lapis

Suku vs Jumlah

Suku ($U$) adalah satu elemen barisan, sedangkan deret ($S$) adalah total penjumlahan elemen-elemen tersebut dari awal.

Perhatikan barisan pada soal:

• Suku ke-$1$: $U_1 = a$

• Suku ke-$2$: $U_2 = a + b$

• Suku ke-$3$: $U_3 = a + 2b$

Suku $U_n$ dan deret $S_n$ memiliki peran yang sangat berbeda:

• $S_1$ hanya memuat tumpukan pertama: $S_1 = U_1 = a$.

• $S_2$ mengumpulkan dua tumpukan pertama: $S_2 = U_1 + U_2 = a + (a + b)$.

• $S_3$ mengumpulkan tiga tumpukan pertama: $S_3 = U_1 + U_2 + U_3 = a + (a + b) + (a + 2b)$.

Jadi, $S_n$ bukan suku tunggal, melainkan akumulasi dari semua suku sejak awal hingga suku ke-$n$.

Mencari Pola Koefisien

Dengan menjabarkan beberapa $S_n$ pertama, kita bisa melihat pola koefisien $a$ dan $b$ yang terbentuk.

Mari kita jabarkan deret tersebut secara lengkap dengan mengelompokkan suku sejenis:

• $S_1 = a$

• $S_2 = a + (a + b) = 2a + b$

• $S_3 = a + (a + b) + (a + 2b) = 3a + 3b$

• $S_4 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) = 4a + 6b$

Perhatikan barisan koefisien di depan $b$:

$$0, \quad 1, \quad 3, \quad 6, \quad \dots$$

Koefisien ini bertambah secara bertingkat:

• Pada $S_1$: koefisien $b = 0$

• Pada $S_2$: koefisien $b = 1$

• Pada $S_3$: koefisien $b = 1 + 2 = 3$

• Pada $S_4$: koefisien $b = 1 + 2 + 3 = 6$

Secara umum, pada deret ke-$i$ ($S_i$), koefisien $b$ adalah jumlah dari $(i - 1)$ bilangan asli pertama:

$$1 + 2 + 3 + \dots + (i - 1) = \frac{i(i - 1)}{2}$$

Menjumlahkan Semua S

Total $S_1 + S_2 + \dots + S_n$ dapat dihitung dengan memisahkan total koefisien $a$ dan total koefisien $b$.

Tujuan soal adalah menghitung penjumlahan bertingkat:

$$S_1 + S_2 + S_3 + \dots + S_n = aX + bY$$

Kita kelompokkan penjumlahan ini menjadi dua gerbong terpisah:

1. Kelompok suku $a$:

$$a + 2a + 3a + \dots + na = a(1 + 2 + 3 + \dots + n)$$

Penjumlahan $1 + 2 + \dots + n$ memiliki rumus baku bilangan asli, yaitu:

$$X = \frac{n(n + 1)}{2}$$

2. Kelompok suku $b$:

$$b\left(0 + 1 + 3 + 6 + \dots + \frac{n(n - 1)}{2}\right) = bY$$

Nilai $Y$ inilah yang menampung seluruh akumulasi koefisien $b$ dari deret pertama sampai deret ke-$n$.