Menaklukkan Deret Pecahan Beruntun

Mengubah Bentuk Menjadi Pecahan

Bentuk pengurangan dalam tanda kurung perlu diubah menjadi pecahan biasa tunggal agar polanya terlihat. Saat pertama kali melihat bentuk seperti $(1 - \frac{1}{2})(1 - \frac{1}{3})(1 - \frac{1}{4})\dots$, kita mungkin tergoda untuk langsung mengalikan suku-suku di dalam kurung atau bingung bagaimana menghubungkannya. Kunci awalnya justru menyederhanakan tiap suku di dalam kurung menjadi satu pecahan utuh terlebih dahulu.

Untuk bilangan asli $n$, kita dapat menyamakan penyebut angka $1$ menjadi $\frac{n}{n}$, sehingga bentuk pengurangannya berubah menjadi:

$$1 - \frac{1}{n} = \frac{n}{n} - \frac{1}{n} = \frac{n - 1}{n}$$

Mari kita terapkan aturan ini pada tiga suku pertama dari soal:

• Untuk $n = 2$: $1 - \frac{1}{2} = \frac{2 - 1}{2} = \frac{1}{2}$

• Untuk $n = 3$: $1 - \frac{1}{3} = \frac{3 - 1}{3} = \frac{2}{3}$

• Untuk $n = 4$: $1 - \frac{1}{4} = \frac{4 - 1}{4} = \frac{3}{4}$

Rantai yang Saling Menjatuhkan

Angka yang sama pada penyebut dan pembilang yang berurutan akan saling membagi habis menghasilkan nilai $1$. Ketika pecahan hasil pengubahan dijejerkan, perhatikan perkalian empat suku pertamanya:

$$\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5}$$

Kita bisa membayangkan perkalian ini seperti Efek Domino: penyebut sebuah pecahan 'jatuh' menabrak pembilang pecahan berikutnya karena nilainya sama persis. Angka $2$ di bawah membagi angka $2$ di atas ($\frac{2}{2} = 1$), lalu angka $3$ di bawah membagi angka $3$ di atas ($\frac{3}{3} = 1$), dan angka $4$ di bawah membagi angka $4$ di atas ($\frac{4}{4} = 1$). Seluruh bagian tengah saling menghilangkan, menyisakan balok domino paling depan yang tidak menabrak apa pun (angka $1$ di atas) dan balok paling ujung yang tidak tertabrak (angka $5$ di bawah). Hasil akhirnya langsung kita peroleh: $\frac{1}{5}$.

Dengan Pola Teleskopik seperti ini, kita tidak perlu mengalikan semua angka secara manual satu per satu. Cukup amati pasangan diagonal yang saling meniadakan dan lihat bagian ujung yang tertinggal.

Rahasia di Balik Titik-Titik

Tanda elipsis ($...$) berarti pola saling menghilangkan itu terus berlanjut tanpa henti sampai suku yang paling akhir. Kehadiran tanda titik-titik ini bukan pertanda bahwa kita harus menghitung manual ratusan pecahan yang disembunyikan; sebaliknya, ini adalah jaminan bahwa keteraturan yang kita temukan pada skala kecil berlaku konsisten hingga ujung barisan.

Pada deret soal asli kita:

$$\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \dots \times \frac{98}{99} \times \frac{99}{100}$$

Rantai pencoretan bekerja persis sama. Angka $2$ saling membagi dengan $2$, angka $3$ dengan $3$, hingga akhirnya penyebut $99$ dari suku sebelum terakhir membagi habis pembilang $99$ dari suku terakhir. Seluruh bagian di tengah runtuh. Yang bertahan tanpa pasangan hanyalah pembilang pertama, yaitu $1$, dan penyebut terakhir, yaitu $100$. Karena itu, hasil perkalian beruntun ini adalah $\frac{1}{100}$ (Opsi B).