Kesebangunan: Dari Intuisi ke Simbol

Mesin Fotokopi Segitiga

Faktor skala pada segitiga sebangun bekerja layaknya tombol perbesaran di mesin fotokopi, mengalikan tiap sisi dengan angka yang sama.

Bayangkan segitiga pertama sebagai lembar dokumen asli dan segitiga kedua sebagai hasil fotokopi perbesaran. Karena hasil fotokopi mempertahankan bentuk aslinya secara presisi (kesebangunan), urutan panjang sisinya tidak akan tertukar: sisi terpendek di dokumen asli akan tetap menjadi sisi bersesuaian terpendek pada hasil cetak. Begitu pula sisi tengah dan terpanjangnya.

Tombol perbesaran pada mesin fotokopi bekerja dengan satu nilai pengali tetap. Sebagai contoh, jika dokumen asli memiliki panjang sisi $2, 3, 4$ dan mesin diatur untuk melakukan perbesaran $3$ kali lipat, maka seluruh sisi hasil cetakan akan menjadi $6, 9, 12$. Setiap sisi lama dilipatgandakan dengan pengali yang sama persis secara serentak.

Berkenalan dengan Simbol k

Simbol $k$ hanyalah nama matematis untuk menyebut angka pengali atau tingkat perbesaran tersebut.

Di soal matematika, kamu kerap menemukan tulisan seperti $k \in \mathbb{R}$. Notasi ini sebenarnya hanya bahasa formal untuk menyatakan bahwa $k$ adalah sebuah bilangan biasa (bisa bilangan bulat, desimal, atau pecahan). Jadi, kamu tidak perlu merasa terintimidasi oleh lambang simbol tersebut.

Mari kita terjemahkan logika perbesaran mesin fotokopi tadi ke bentuk aljabar:

1. Jika sisi asal adalah $a$ dan mengalami perbesaran sebesar faktor skala $k$, maka sisi baru yang bersesuaian ($d$) diperoleh dari $a$ dikali $k$.

2. Dalam matematika, perkalian $k \times a$ ditulis rapat menjadi $ka$. Karena hasilnya adalah $d$, kita peroleh hubungan $ka = d$.

3. Dengan logika yang sama pada sisi-sisi lainnya, sisi $b$ dilipatgandakan menjadi $kb = e$, dan sisi $c$ menjadi $kc = f$.

Membedah Opsi Jawaban

Persamaan pengali sisi yang benar tidak melibatkan kuadrat atau perkalian antarsisi.

Mari kita telaah bentuk aljabar yang menghubungkan sisi segitiga awal ($a, b, c$) dan segitiga perbesaran ($d, e, f$) dengan kondisi $a < b < c$, $d < e < f$, serta $a < d$:

• Opsi A ($ka = d, kb = e, kc = f$): Bentuk ini tepat karena secara konsisten mengalikan setiap sisi awal dengan pengali perbesaran $k$ untuk menghasilkan sisi baru.

• Opsi B ($k = ad, k = be, k = cf$): Keliru. Hubungan ini memperlakukan $k$ sebagai hasil kali dua sisi yang bersesuaian. Pengali kesebangunan didapat dari pembagian (rasio perbandingan), bukan perkalian antarsisi.

• Opsi C ($k = a^2d, \dots$): Keliru. Kesebangunan panjang garis merupakan hubungan linier satu dimensi, sehingga tidak membutuhkan operasi kuadrat pada panjang sisinya.

• Opsi D ($k = abc, k^2 = def$): Keliru. Persamaan ini mengalikan ketiga sisi sekaligus tanpa menunjukkan perbandingan satu demi satu antarsisi yang bersesuaian.

• Opsi E ($kd = a, ke = b, kf = c$): Tidak sesuai dengan narasi perbesaran. Karena $a < d$, segitiga membesar dari $a$ ke $d$. Bentuk $kd = a$ meletakkan pengali pada sisi yang sudah besar untuk menghasilkan sisi yang kecil, sehingga berkebalikan dengan arah perbesaran yang wajar.