Membongkar Pola Barisan dan Uji Keanggotaan Suku

Menebak Angka Rahasia Lewat Pola Loncatan

Pernahkah kamu menebak angka yang hilang dari sebuah pola? Di soal tadi, kita punya barisan: $4, a, 20$. Kita tahu ini adalah barisan aritmatika, tapi dari mana kita bisa tahu nilai $a$?

Kunci dari barisan aritmatika adalah loncatannya selalu tetap (disebut juga beda atau $d$). Bayangkan kamu sedang melangkah di atas batu loncatan. Jarak dari batu pertama ke batu kedua harus persis sama dengan jarak dari batu kedua ke batu ketiga.

Mari kita lihat secara visual:

Dari ilustrasi di atas, total jarak dari $4$ ke $20$ adalah $16$. Karena ada dua kali loncatan untuk sampai ke $20$ (dari suku ke-1 ke suku ke-2, lalu ke suku ke-3), kita bagi jaraknya: $16 \div 2 = 8$.

Berarti, loncatannya adalah $+8$. Maka, nilai $a$ (suku kedua) adalah suku pertama ditambah satu loncatan: $4 + 8 = \mathbf{12}$.

Dengan kata lain, nilai suku tengah dalam barisan aritmatika selalu merupakan rata-rata (titik tengah persis) dari dua tetangganya!

Mengingat Kembali Konsep 'Habis Dibagi'

Di soal tadi, Opsi B menyatakan: "jumlah setiap 2 suku pertama habis dibagi 8". Kita sudah tahu bahwa suku pertama adalah $4$ dan suku kedua (yang kita cari sebelumnya) adalah $12$. Kalau dijumlahkan, hasilnya adalah $4 + 12 = \mathbf{16}$.

Tapi, apa sebenarnya makna dari kata "habis dibagi"?

Sebuah angka dikatakan habis dibagi oleh angka lain jika ketika kita membaginya, hasilnya bulat (tidak ada sisa atau pecahan). Dengan kata lain, angka tersebut merupakan kelipatan dari angka pembaginya dan bisa ditemukan utuh di tabel perkaliannya.

Pada kasus kita, apakah $16$ habis dibagi $8$? Mari kita coba kelompokkan. Jika kita punya 16 balok dan membaginya ke dalam kotak-kotak berkapasitas 8 balok, kita akan mendapatkan persis 2 kotak tanpa ada sisa balok yang tercecer.

Secara matematis: $16 \div 8 = 2$ (bulat, tanpa sisa). Atau, kita tahu bahwa $8 \times 2 = 16$.

Karena $16$ bisa dibagi sempurna oleh $8$, maka pernyataan "jumlah setiap 2 suku pertama habis dibagi 8" adalah Benar.

Menerjemahkan Loncatan Jadi Tabel & Rumus

Sekarang kita tahu barisannya adalah $4, 12, 20, \dots$ dengan loncatan tetap $+8$.

Bagaimana kalau kita disuruh mencari suku ke-$100$? Tentu akan sangat capek kalau harus menambahkan $+8$ sebanyak 99 kali! Di sinilah fungsi rumus suku ke-n ($U_n$), yaitu sebagai "jalan pintas" matematika.

Karena setiap kali posisi urutan ($n$) bertambah 1, nilainya selalu bertambah 8, maka rumus ini memiliki "kecepatan" atau pengali sebesar 8. Artinya, rumus intinya pasti melibatkan $8n$ (kelipatan 8).

Coba kita hubungkan dengan urutannya melalui tabel interaktif berikut:

Dengan jalan pintas ini, kita bisa mengetahui nilai suku ke berapa pun secara instan. Rumus ini yang akan menjadi senjata kita untuk mengecek kebenaran sisa opsi di soal tadi.