Menaklukkan Deret Teleskopik

Membongkar Pecahan Parsial

Pecahan dengan penyebut berupa perkalian harus dipecah menjadi selisih (pengurangan) dua pecahan, bukan penjumlahan.

Saat melihat bentuk seperti $\frac{1}{2 \times 3}$, godaan spontan kita sering kali ingin langsung membaginya menjadi $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$. Namun, coba uji nilainya dengan menyamakan penyebut:

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$$

Hasilnya adalah $\frac{5}{6}$, sangat jauh berbeda dari $\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{6}$. Hal ini membuktikan bahwa perkalian di penyebut tidak bisa dipisah begitu saja menjadi penjumlahan pecahan biasa.

Agar menghasilkan $\frac{1}{6}$ dari bilangan penyebut $2$ dan $3$, operasi yang tepat adalah pengurangan:

$$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$$

Secara aljabar formal dari nol, angka $1$ pada pembilang selalu dapat ditulis sebagai selisih dari kedua faktor penyebutnya, yaitu $(n+1) - n$. Dengan teknik pecahan parsial, bentuk umum $\frac{1}{n(n+1)}$ diurai menjadi:

$$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{(n+1) - n}{n(n+1)} = \frac{n+1}{n(n+1)} - \frac{n}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$$

Deret Teleskopik bak Teropong

Dalam deret teleskopik, suku-suku tengah saling meniadakan sehingga hanya menyisakan suku positif terdepan dan suku negatif paling belakang.

Setelah memecah setiap suku deret menjadi bentuk selisih pecahan parsial, kita susun penjumlahan deret lengkapnya:

$$\left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \right) + \dots + \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{10} \right)$$

Bayangkan deret ini seperti teropong lipat bajak laut: saat ditutup (dijumlahkan), segmen-segmen di bagian tengah saling masuk dan tersembunyi karena nilainya saling meniadakan menjadi nol ($-\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 0$, $-\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 0$, dan seterusnya). Proses ini hanya menyisakan lensa paling depan (suku pertama) dan lensa paling belakang (suku terakhir).

Perhatikan tanda operasi suku yang bertahan di ujung: suku terdepan bernilai positif, yaitu $+\frac{1}{2}$. Sebaliknya, suku di ujung belakang selalu bernilai negatif, yaitu $-\frac{1}{10}$, karena asalnya dari pengurang pada suku terakhir. Jangan sampai mengubah tanda ini menjadi positif atau mengabaikannya sama sekali:

$$\text{Hasil} = \frac{1}{2} - \frac{1}{10} = \frac{5}{10} - \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$

Hasil inilah yang membuktikan bahwa Opsi A adalah jawaban yang tepat.

Generalisasi: Selisih Penyebut

Jika faktor-faktor di penyebut memiliki selisih lebih dari satu, rumus pecahan parsial harus dikalikan dengan kebalikan dari selisih tersebut.

Bagaimana jika kita menjumpai deret dengan selisih faktor penyebut sebesar $2$, seperti $\frac{1}{2 \times 4} + \frac{1}{4 \times 6} + \dots$? Jika kita langsung mengurangkannya seperti biasa:

$$\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} = \frac{2}{8}$$

Nilai $\frac{2}{8}$ ternyata dua kali lipat lebih besar dari $\frac{1}{2 \times 4} = \frac{1}{8}$.

Secara umum, jika selisih kedua faktor penyebut adalah $k$, pembilangnya berubah menjadi $(n+k) - n = k$. Agar pembilangnya kembali menjadi $1$, seluruh bentuk selisih wajib kita bagi dengan $k$:

$$\frac{1}{n(n+k)} = \frac{1}{k} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+k} \right)$$

Untuk contoh tadi dengan selisih $k = 2$, bentuk pecahan parsialnya adalah $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right)$. Faktor pengali $\frac{1}{k}$ ini nantinya ditarik keluar dari seluruh deret.