Trigonometri: Membedah Dua Sudut Elevasi

Satu Menara, Dua Frame Kamera

Dua sudut elevasi dari dua titik pengamatan yang berbeda berarti kita sedang melihat dua segitiga siku-siku yang saling menempel pada garis tinggi yang sama. Bayangkan kamu adalah seorang fotografer yang sedang memotret puncak sebuah Menara. Saat berdiri di titik $A$, kamu harus mendongakkan lensa kamera sebesar $30^\circ$ ke arah puncak. Ketika kamu berjalan maju lurus sejauh $20\text{ m}$ mendekati menara menuju titik $D$, kamu mendongak lebih tegak hingga sudutnya menjadi $60^\circ$.

Semakin dekat posisi lensa kamera ke dasar menara, garis pandang akan semakin curam sehingga sudut elevasi membesar. Karena fotografer memotret objek yang sama dari dua posisi berbeda, tercipta dua segitiga siku-siku dengan tinggi yang identik, tetapi memiliki panjang alas mendatar yang berbeda.

Menerjemahkan ke Persamaan

Setiap segitiga pengamatan menghasilkan satu persamaan tangen, karena kita menghubungkan tinggi menara dengan jarak mendatar. Pada pengamatan ini, kita tidak mengetahui maupun memerlukan panjang garis pandang (sisi miring). Karena rasio yang menghubungkan sisi tegak di depan sudut dengan sisi mendatar di samping sudut adalah perbandingan sisi depan per samping, fungsi trigonometri yang tepat kita gunakan adalah Tangen (tan).

Mari kita pisahkan gambar yang bertumpuk tersebut menjadi dua bingkai segitiga mandiri:

1. Segitiga kecil ($\triangle DCB$): Pengamat berada di titik $D$. Sudut elevasinya adalah $60^\circ$, sisi tegak adalah tinggi menara $h$, dan alasnya adalah sisa jarak $DB = x$. Persamaannya:

$$\tan(60^\circ) = \frac{h}{x} \implies \sqrt{3} = \frac{h}{x}$$

1. Segitiga besar ($\triangle ACB$): Pengamat berada di titik awal $A$. Sudut elevasinya adalah $30^\circ$, sisi tegak tetap sama yaitu tinggi menara $h$, sedangkan alasnya adalah bentangan total $AB = 20 + x$. Persamaannya:

$$\tan(30^\circ) = \frac{h}{20 + x} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{20 + x}$$

Kedua persamaan ini saling terhubung karena lensa kamera memotret tiang menara dengan tinggi $h$ yang sama persis.

Taktik Substitusi Variabel

Substitusi mengubah sistem dua persamaan dengan dua variabel menjadi satu persamaan linear yang bisa dihitung secara langsung. Ketika kita melihat dua variabel sekaligus, yaitu jarak mendatar $x$ dan tinggi menara $h$, jangan merasa kewalahan. Ingat bahwa target akhir yang diminta soal adalah nilai $h$. Karena kita hanya membutuhkan $h$, misi utama aljabar kita adalah menyingkirkan variabel $x$ dari perhitungan lewat teknik Substitusi.

Dari segitiga kecil, kita dapat menyatakan $x$ dalam bentuk $h$:

$$\sqrt{3} = \frac{h}{x} \implies x = \frac{h}{\sqrt{3}}$$

Sementara itu, dari segitiga besar kita memperoleh bentuk perkalian silang:

$$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{20 + x} \implies 20 + x = h\sqrt{3}$$

Sekarang, ganti posisi $x$ pada persamaan segitiga besar dengan pecahan $\frac{h}{\sqrt{3}}$. Dengan begitu, variabel $x$ lenyap dan persamaan kita kini murni hanya memuat satu variabel, yaitu $h$:

$$20 + \frac{h}{\sqrt{3}} = h\sqrt{3}$$

Hasil akhir ini membuktikan bahwa tinggi menara yang tepat adalah Opsi C ($10\sqrt{3}\text{ m}$). Perhatikan mengapa opsi lainnya keliru:

• Opsi A ($12$) salah: Terjadi akibat pembulatan hampiran kasar dari operasi $\frac{20}{\sqrt{3}} \approx 11{,}55 \approx 12$ tanpa menjalankan prosedur substitusi yang tepat.

• Opsi B ($10$) salah: Terjebak membagi dua jarak perpindahan ($20 / 2 = 10$) secara langsung tanpa melibatkan relasi trigonometri yang semestinya.

• Opsi E ($20\sqrt{2}$) salah: Keliru mengaplikasikan rumus perbandingan segitiga siku-siku sama kaki ($45^\circ$) atau salah menganggap angka 20 sebagai sisi miring.