Bongkar Rumus Pembagian Polinomial

Struktur Pembagian Polinomial

Persamaan suku banyak memiliki struktur yang sama persis dengan logika pembagian angka biasa. Ketika kita melihat persamaan aljabar yang panjang, kita tidak sedang berhadapan dengan sekadar rumus abstrak yang harus ditebak-tebak pemfaktorannya, melainkan sebuah pernyataan pembagian yang sangat teratur.

Dalam aritmetika dasar, jika bilangan $23$ dibagi dengan $5$, hasilnya adalah $4$ dengan sisa $3$. Hubungan ini dituliskan secara baku melalui Algoritma Pembagian:

$$\text{Yang dibagi} = (\text{Hasil Bagi} \times \text{Pembagi}) + \text{Sisa}$$

$$23 = (4 \times 5) + 3$$

Prinsip yang sama berlaku penuh pada Polinomial. Bentuk aljabar suku banyak suku per suku dipetakan mengikuti kerangka pembagian ini secara konsisten.

Hubungan formal pada pembagian suku banyak dituliskan sebagai:

$$P(x) = g(x) \cdot (x - 1) + 3a$$

Pada soal yang kita hadapi:

• Polinomial yang dibagi adalah $P(x) = 3x^3 - 2x^2 + ax - a$

• Hasil baginya adalah fungsi $g(x)$

• Pembaginya adalah faktor linier $(x - 1)$

• Sisanya berupa konstanta $3a$

Persamaan kesamaan (identitas) ini bernilai benar untuk berapapun nilai $x$ real yang kita masukkan ke dalamnya. Memahami kesetaraan struktur ini adalah kunci agar kita tidak terjebak menganggap suku banyak sebagai teka-teki pemfaktoran yang rumit.

Melumpuhkan Hasil Bagi

Kita bisa mencari koefisien tanpa memedulikan hasil bagi dengan cerdik memasukkan nilai Pembuat Nol pada faktor pembagi. Pada persamaan $3x^3 - 2x^2 + ax - a = g(x)(x - 1) + 3a$, kita menghadapi dua objek yang belum diketahui sekaligus: fungsi hasil bagi $g(x)$ dan nilai konstanta $a$.

Secara analitis, mencari $g(x)$ terlebih dahulu akan sangat merepotkan karena $a$ belum diketahui. Namun, ada prinsip deduktif yang elegan: perkalian berapapun dengan angka nol akan menghasilkan nol ($g(x) \cdot 0 = 0$). Jadi, jika faktor pembagi $(x - 1)$ bernilai nol, wujud $g(x)$ yang misterius itu akan langsung lenyap dari persamaan.

Nilai $x$ yang membuat $(x - 1) = 0$ adalah $x = 1$. Dengan menyubstitusikan Pembuat Nol $x = 1$ secara serentak ke kedua ruas:

$$3(1)^3 - 2(1)^2 + a(1) - a = g(1)(1 - 1) + 3a$$

$$3(1) - 2(1) + a - a = g(1) \cdot 0 + 3a$$

$$3 - 2 + 0 = 0 + 3a$$

$$1 = 3a$$

$$a = \frac{1}{3}$$

Teknik memanfaatkan Pembuat Nol ini merupakan inti dari Teorema Sisa: mengisolasi nilai konstanta tanpa perlu memikirkan hasil bagi sama sekali.

Membongkar Fungsi Hasil Bagi

Fungsi hasil bagi didapat dengan memindahkan sisa dan membagi Polinomial utuh tersebut dengan faktor pembaginya. Sekarang kita telah mengetahui nilai $a = \frac{1}{3}$. Langkah logis selanjutnya adalah merekonstruksi fungsi $g(x)$ secara eksplisit.

Masukkan $a = \frac{1}{3}$ ke dalam persamaan identitas awal:

$$3x^3 - 2x^2 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{3} = g(x)(x - 1) + 3\left(\frac{1}{3}\right)$$

$$3x^3 - 2x^2 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{3} = g(x)(x - 1) + 1$$

Agar ruas kanan murni memuat perkalian $g(x)(x - 1)$, kita pindahkan sisa pembagian $+1$ ke ruas kiri:

$$g(x)(x - 1) = 3x^3 - 2x^2 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{3} - 1$$

$$g(x)(x - 1) = 3x^3 - 2x^2 + \frac{1}{3}x - \frac{4}{3}$$

Untuk memperoleh $g(x)$, bagi polinomial berderajat tiga tersebut dengan faktor pembagi $(x - 1)$. Pembagian ini dapat dihitung dengan efisien menggunakan metode Horner.

Dari bagan Horner di atas:

1. Koefisien awal $3$ turun ke bawah.

2. Kalikan dengan pembagi $1 \rightarrow 3 \times 1 = 3$, lalu tambahkan dengan koefisien berikutnya: $-2 + 3 = 1$.

3. Kalikan lagi $1 \times 1 = 1$, tambahkan ke suku linier: $\frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$.

4. Kalikan $\frac{4}{3} \times 1 = \frac{4}{3}$, tambahkan ke konstanta: $-\frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 0$ (sisa pembagian habis).

Derajat polinomial yang dibagi berkurang dari derajat $3$ menjadi derajat $2$. Dengan demikian, bentuk fungsi hasil bagi ditemukan secara pasti:

$$g(x) = 3x^2 + x + \frac{4}{3}$$