Bongkar Kostum Bilangan: Rasional vs Irasional
Desimal Panjang Bisa Jadi Pecahan
Bilangan desimal yang berhenti maupun yang panjang dengan pola berulang selalu bisa diubah menjadi pecahan bilangan bulat, sehingga tergolong rasional. Suatu bilangan disebut bilangan rasional apabila memenuhi syarat utama: dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan $\frac{a}{b}$, di mana $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat serta $b \neq 0$.
Banyak orang mengira deretan desimal yang sangat panjang otomatis merupakan bilangan irasional. Anggapan ini keliru karena kita perlu memeriksa struktur angkanya terlebih dahulu.
Mari kita bedah dua bentuk desimal dari soal tadi:
Opsi A ($4{,}777777$): Bilangan ini adalah desimal yang berhenti (terminating decimal). Semua desimal yang digitnya berakhir di belakang koma dapat langsung ditulis menjadi rasio bilangan bulat:
$$4{,}777777 = \frac{4.777.777}{1.000.000}$$
Karena pembilang dan penyebutnya bilangan bulat, **Opsi A adalah bilangan rasional**.Opsi D ($2{,}213213213213213\dots$): Walaupun digit di belakang koma berlanjut tanpa henti, polanya berulang secara teratur pada tiga digit ($213$). Desimal seperti ini disebut desimal berulang.
Karena berhasil diwujudkan ke dalam pecahan bilangan bulat $\frac{a}{b}$, terbukti bahwa Opsi D juga merupakan bilangan rasional. Panjangnya digit desimal hanyalah 'kostum' luar; selama polanya berulang atau berhenti, identitas sejatinya tetaplah rasional.
Sebuah bilangan desimal ditulis sebagai $0{,}454545\dots$ hingga tak terhingga. Manakah pernyataan yang tepat mengenai bilangan tersebut?
- Bilangan itu rasional karena dapat diubah menjadi bentuk 45/99.
- Bilangan itu irasional karena nilai desimalnya tidak pernah berhenti.
- Bilangan itu irasional karena tidak bisa dibagi habis oleh bilangan bulat.
- Bilangan itu rasional karena merupakan hasil dari akar kuadrat sempurna.
Jawaban: Bilangan itu rasional karena dapat diubah menjadi bentuk 45/99.
Bilangan 0,454545... memiliki pola 2 digit berulang (45). Melalui aljabar 100x - x = 45, didapatkan x = 45/99. Karena dapat ditulis sebagai pecahan bulat a/b, bilangan ini rasional. Ekor desimal tak hingga tidak otomatis membuatnya irasional selama polanya berulang.
Desimal tak hingga yang memiliki pola berulang merupakan bilangan rasional karena bisa diubah ke bentuk pecahan.
Jebakan Kostum Akar
Kehadiran simbol akar tidak otomatis membuat bilangan menjadi irasional; kita wajib menyederhanakannya terlebih dahulu. Banyak siswa langsung memvonis suatu angka sebagai bilangan irasional begitu melihat tanda akar ($\sqrt{\dots}$). Memeriksa sifat bilangan itu seperti memeriksa orang yang mengenakan kostum: simbol akar hanyalah kostum luarnya, dan kita harus 'membuka kostumnya' lewat penyederhanaan sebelum menyimpulkan identitas aslinya.
Mari kita perhatikan Opsi C ($2\sqrt{9}$) dari soal. Bentuk ini adalah contoh klasik bilangan rasional yang sedang memakai kostum akar:
Buka kostum akarnya: Angka $9$ merupakan bilangan kuadrat sempurna karena $3^2 = 9$. Oleh sebab itu:
$$\sqrt{9} = 3$$
Hitung hasil operasinya: Kalikan angka di luar akar dengan hasil penarikan akar:
$$2\sqrt{9} = 2 \times 3 = 6$$
Cek definisi rasional: Angka bulat $6$ jelas dapat ditulis sebagai pecahan:
$$6 = \frac{6}{1}$$
Karena $6$ dapat dinyatakan sebagai rasio dua bilangan bulat, Opsi C adalah bilangan rasional, bukan irasional.
Tentukan apakah tiap pernyataan berikut mengenai bilangan rasional Benar atau Salah:
- $\sqrt{16}$ merupakan bilangan rasional. — Benar
- $5\sqrt{4}$ merupakan bilangan rasional. — Benar
- $\sqrt{10}$ merupakan bilangan rasional. — Salah
Pernyataan 1 Benar karena akar 16 = 4 (bilangan bulat/rasional). Pernyataan 2 Benar karena 5 dikali akar 4 = 5 x 2 = 10 (rasional). Pernyataan 3 Salah karena 10 bukan kuadrat sempurna, sehingga akar 10 menghasilkan desimal tak hingga tak berulang (irasional).
Bentuk akar dari bilangan kuadrat sempurna adalah bilangan rasional.
Irasional Sejati Tak Bisa Disederhanakan
Bilangan irasional sejati akan tetap menyisakan bentuk akar tak sempurna atau konstanta transenden meskipun sudah dicoba disederhanakan. Pada bilangan ini, 'kostum' irasionalnya melekat permanen dan tidak bisa dilepas menjadi bilangan bulat.
Mari kita tinjau dua opsi yang tersisa dari soal:
Opsi B ($3\sqrt{2}$): Angka $2$ bukan bilangan kuadrat sempurna. Nilai $\sqrt{2}$ tidak pernah menghasilkan bilangan bulat maupun pecahan $\frac{a}{b}$, sehingga $\sqrt{2}$ adalah bilangan irasional. Dalam aljabar, perkalian antara bilangan rasional bukan nol ($3$) dengan bilangan irasional ($\sqrt{2}$) akan selalu menghasilkan bilangan irasional:
$$3 \times (\text{irasional}) = \text{irasional}$$
Maka, **Opsi B bukan bilangan rasional**.Opsi E ($\pi^{\pi}$): Nilai $\pi$ adalah bilangan irasional sekaligus bilangan transenden. Perpangkatan konstanta transenden ini dipastikan tidak dapat ditulis menjadi rasio dua bilangan bulat. Oleh karena itu, Opsi E bukan bilangan rasional.
Dengan analisis ini, bilangan pada soal yang bukan merupakan bilangan rasional adalah Opsi B dan Opsi E.